Mathematik in der Oberstufe

Abstand Punkt – Gerade mit dem Lotfußpunktverfahren

Um den Abstand eines Punktes zu einer Geraden im dreidimensionalen Raum zu berechnen, verwendet man in hessischen Grundkursen bevorzugt das Lotfußpunktverfahren. Der Vorteil gegenüber einer Formel liegt darin, dass man gleichzeitig den Lotfußpunkt erhält, also den Punkt auf der Geraden, auf den man zusteuern müsste, um auf kürzestem Weg vom Punkt außerhalb zur Geraden zu kommen. Die Formel dagegen liefert nur die Länge des Weges – manchmal reicht das, aber nicht immer.

Die Zeichnung veranschaulicht die Vorgehensweise:

Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Vorgehensweise bei der Berechnung des Abstandes Punkt/Gerade

  1. Erstelle Hilfsebene H durch P, die senkrecht auf g steht.
  2. Berechne den Schnittpunkt F (Fußpunkt) von H mit g.
  3. Berechne den Abstand Länge des Vektors PF.

Beispiel

Gesucht ist der Abstand des Punktes P(10|5|7) von der Geraden Geradengleichung.

  1. Da die Hilfsebene H senkrecht auf g stehen soll, bilden die Komponenten des Richtungsvektors von g die Koeffizienten der Koordinatengleichung von H:
    H: 4x + y − 3z = d
    Die rechte Seite d wird bestimmt, indem man die Koordinaten des Punktes P in die vorläufige Gleichung von H einsetzt:
    4·10 + 5 − 3·7 = d ⇒ 24 = d
    Die Hilfsebene H hat somit die Gleichung H: 4x + y − 3z = 24.
  2. Für die Berechnung des Schnittpunktes wird g in H eingesetzt. Der Parameter s wird dann wiederum in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Lotfußpunktes zu bestimmen:
    4(-2 + 4s) + (1 + s) - 3(7 - 3s) = 24
      -8 + 16s + 1 + s - 21 + 9s = 24   | + 8 - 1 + 21
                             26s = 52   | :26
                               s =  2
    s in g:   Berechnung des Schnittpunktes von Gerade und Lotebene ⇒ F(6|3|1)
  3. Für den Abstand berechnet man erst den Vektor Vektor PF und anschließend dessen Länge:
    Vektor PF und dessen Länge
    Der Punkt P ist also etwa 7,48 Längeneinheiten von der Geraden g entfernt.

Natürlich kann man die Hilfsebene auch in der Normalenform aufstellen. Ich habe hier die Koordinatengleichung verwendet, da nur diese in hessischen Grundkursen zum Pflichtstoff gehört.

Abstand paralleler Geraden

Abstand paralleler Geraden Sind zwei Geraden g:x=p+t*u und h:x=q+t*v parallel, so ist an jeder Stelle die Entfernung gleich groß. Man kann daher auf einer der beiden Geraden einen beliebigen Punkt wählen – am einfachsten verwendet man die Koordinaten des Stützvektors – und den Abstand dieses Punktes zur anderen Geraden berechnen. Der Abstand von g zu h ist also der Abstand von P zu h bzw. von Q zu g.

Letzte Aktualisierung: 14.05.2010

Abstandsberechnungen

Beispiele, Erklärungen

Aufgaben