Formel für den Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden im dreidimensionalen Raum lässt sich mit Hilfe des Vektorproduktes (Kreuzproduktes) berechnen.

Da die Formel noch keinen Eingang in die gängigen Schulbücher und Formelsammlungen gefunden hat, begründe ich sie an dieser Stelle.

Dazu ergänzen wir zunächst die Gerade und den außerhalb liegenden Punkt zu einem Dreieck.

Seinen Flächeninhalt können wir mithilfe des Vektorproduktes angeben: $A_{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}=\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AP}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}|$.

Andererseits kennen wir aus der Mittelstufe die Formel $A_{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}=\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->g\cdot <!--\; \cdot \; -->h$. Die Höhe $h$ wiederum ist der Abstand $d$ des Punktes zur Geraden, die Grundseite $g$ die Länge des Richtungsvektors. Durch Einsetzen und Umformen erhalten wir: $$\begin{array}{rcll}\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->g\cdot <!--\; \cdot \; -->h& =& \frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AP}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}|& |\text{ ersetze }g=|\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}|;h=d;\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AP}=\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{p}-\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{a}\\ \frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->|\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}|\cdot <!--\; \cdot \; -->d& =& \frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->|(\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{p}-\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{a})\times <!--\; \times \; -->\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}|& |\cdot <!--\; \cdot \; -->2:|\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}|\\ d& =& \frac{|(\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{p}-\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{a})\times <!--\; \times \; -->\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}|}{|\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}|}\end{array}$$

Gelegentlich zieht man den Nenner $|\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}|$ in den Zähler zum Vektor $\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}$ und nutzt die Schreibweise ${\displaystyle {\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}}_0=\frac{\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}}{|\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}|}}$ für den Einheitsvektor. Die Formel lässt sich dann zwar kompakter als $d=|(\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{p}-\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{a})\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}}_0|$ schreiben, ist aber bei der konkreten Berechnung unbequemer.

Beispiele

Beispiel 1: Punkt gegeben, Abstand gesucht

Aufgabe: Gesucht ist der Abstand des Punktes $P(10|5|7)$ von der Geraden $g:\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 7\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -3\end{array}\right)$.

Lösung: Man berechnet zunächst $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AP}=\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{p}-\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{a}=\left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ und damit das Kreuzprodukt $(\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{p}-\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{a})\times <!--\; \times \; -->\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}=\left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ 0\end{array}\right)\times <!--\; \times \; -->\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot <!--\; \cdot \; -->(-3)-0\cdot <!--\; \cdot \; -->1\\ 0\cdot <!--\; \cdot \; -->4-12\cdot <!--\; \cdot \; -->(-3)\\ 12\cdot <!--\; \cdot \; -->1-4\cdot <!--\; \cdot \; -->4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ 36\\ -4\end{array}\right)$.

Damit erhält man für den Abstand ${\displaystyle d=\frac{\sqrt{{12}^2+{36}^2+4^2}}{\sqrt{4^2+1^2+3^2}}=\sqrt{56}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{7,48}\text{ LE}}$.

Das Verfahren ist also wesentlich schneller als das Lotfußpunktverfahren, hat aber den Nachteil, dass der Fußpunkt auf diese Weise nicht ermittelt wird. Da dies gelegentlich verlangt wird, muss man das andere Verfahren trotzdem beherrschen.

Das Verfahren lässt sich natürlich auch einsetzen, um den Abstand paralleler Geraden zu berechnen: Man wählt auf einer der Geraden einen Punkt – am einfachsten den Stützpunkt – und berechnet den Abstand dieses Punktes zur anderen Geraden.

Beispiel 2: Abstand gegeben, Parameter oder Punkt gesucht

Aufgabe: Gegeben ist die Gerade $g:\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -3\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$. Gesucht sind die Punkte der y-Achse, die von dieser Geraden 5 Längeneinheiten entfernt sind.

Lösung: Punkte auf der y-Achse sind von der Form $P(0|y|0)$. Wir berechnen zunächst wieder $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AP}=\left(\begin{array}{c}0\\ y\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ y-1\\ 3\end{array}\right)$ und damit das Vektorprodukt $(\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{p}-\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{a})\times <!--\; \times \; -->\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ y-1\\ 3\end{array}\right)\times <!--\; \times \; -->\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(-y+1)-6\\ 6-1\\ -2-(2y-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-y-5\\ 5\\ -2y\end{array}\right)$.

Der Abstand soll $d=5$ betragen. Wir setzen in die Formel ein und lösen nach $y$ auf. Dabei benötigen wir zu Beginn eine binomische Formel und am Schluss die pq-Formel.

$$\begin{array}{rcl}\frac{\sqrt{(-y-5{)}^2+5^2+(-2y{)}^2}}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}& =& 5\\ \frac{\sqrt{y^2+10y+25+25+4y^2}}{3}& =& 5& |\cdot <!--\; \cdot \; -->3\\ \sqrt{5y^2+10y+50}& =& 15& |(\cdots <!--\; \cdots \; -->{)}^2\\ 5y^2+10y+50& =& 225& |-225\\ 5y^2+10y-175& =& 0& |:5\\ y^2+2y-35& =& 0& |pq\text{-Formel}\\ y_{1/2}& =& -1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{1^2+35}\\ y_1& =& 5\\ y_2& =& -7\end{array}$$

Die beiden Punkte haben also die Koordinaten $P_1(0|5|0)$ und $P_2(0|-7|0)$.

Ist umgekehrt gefragt, welche Punkte der Geraden $g$ von der y-Achse den Abstand 5 haben, so stellt man die y-Achse als Gerade $h$ dar. Der Ursprung ist ein Stützvektor und muss als Nullvektor nicht notiert werden; die einfachste Wahl für den Richtungsvektor ist $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->h:\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{x}=t\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$. Der Punkt $P$ der Geraden $g$ wird allgemein in der Form $P(1+2s|1+2s|-3-s)$ geschrieben.

Man erhält $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AP}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{⃗<!--\; ⃗\; -->}{u}=\left(\begin{array}{c}1+2s\\ 1+2s\\ -3-s\end{array}\right)\times <!--\; \times \; -->\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3+s\\ 0\\ 1+2s\end{array}\right)$. Rechnet man wie oben weiter, so erhält man $s_1=1$ und $s_2=-3$. Setzt man diese Werte in $P$ ein, so erhält man die Koordinaten $P_1(3|3|-4)$ und $P_2(-5|-5|0)$ der gesuchten Punkte.

Letzte Aktualisierung: 01.03.2012

Abstandsberechnungen

Beispiele, Erklärungen

• Punkt – Gerade: Lotfußpunktverfahren
• Punkt – Gerade: Formel

Aufgaben

• Punkt – Gerade: Lotfußpunktverfahren