Mathematik in der Oberstufe

Aufgaben zum Abstand Punkt–Gerade (Formel)

Die Aufgaben beziehen sich auf den Artikel Formel für den Abstand eines Punktes von einer Geraden und richten sich vorwiegend an Leistungskurs-Schüler.

  1. Ein Flugzeug fliegt vom Punkt \(P(0|0|0{,}3)\) aus in Richtung \(\vec u= \begin{pmatrix}-1\\8\\0{,}3\end{pmatrix}\). In der Nähe der Flugroute befindet sich ein Berg mit der Spitze in \(S(-4|30|0{,}8)\) (alle Angaben in km).
    Aus Sicherheitsgründen soll ein Mindestabstand von 1 km zum Berg eingehalten werden. Kann der Pilot die Flugrichtung beibehalten, oder sollte er sie ändern?
  2. Gegeben sind die Geraden \(g\colon \vec x=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(h\colon \vec x=\begin{pmatrix}5\\15\\5\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\).
    1. Welche Punkte der Geraden \(h\) haben von der Geraden \(g\) einen Abstand von \(d=15\,\)?
    2. Welche Punkte der Geraden \(h\) sind von der Geraden \(g\) höchstens 15 Längeneinheiten entfernt?
  3. Berechnen Sie den Abstand der Punkte \(P_a(6-a|7|2+2a)\) von der Geraden \(g\colon \vec x=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\). Deuten Sie Ihr Ergebnis anschaulich.
  4. Welche Punkte der \(z\)-Achse haben von der Geraden \(g\colon \vec x=\begin{pmatrix}4\\1\\5\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}\) den Abstand \(d=\tfrac 32 \sqrt{2}\,\)?

Lösungen

Letzte Aktualisierung: 05.10.2012

Abstandsberechnungen im R3

Beispiele, Erklärungen

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