Mathematik in der Oberstufe

Abstand Punkt – Ebene: Lotfußpunktverfahren

Für den Abstand eines Punktes zu einer Ebene kann man verschiedene Verfahren nutzen. Das hier beschriebene Verfahren arbeitet mit dem Lotfußpunkt, dessen Koordinaten gleichzeitig verraten, in welchem Punkt der Ebene der kürzeste Abstand zum gegebenen Punkt außerhalb der Ebene angenommen wird.

Aus der Mittelstufe wissen Sie, dass der kürzeste Weg eine Orthogonale ist. Vom Punkt \(P\) aus geht man daher senkrecht zur Ebene – und das heißt: in Richtung des Normalenvektors.

Die folgende Zeichnung verdeutlicht das Vorgehen:

Abstand Punkt-Ebene: Vorgehen beim Lotfußpunktverfahren

Vorgehensweise bei der Berechnung des Abstandes Punkt/Ebene

  1. Erstelle Hilfsgerade \(h:\vec x=\vec p+t\,\vec n\) durch \(P\), die senkrecht auf der Ebene \(E\) steht. Diese Hilfsgerade heißt oft Lotgerade.
  2. Berechne den Schnittpunkt \(F\) (Fußpunkt) von \(h\) mit \(E\).
  3. Berechne den Abstand \(d=|\overrightarrow{PF}|\).

Im Folgenden gehe ich davon aus, dass die Ebene bereits in Normalenform oder Koordinatenform gegeben ist. Liegt die Ebene in Parameterform vor, so müssen Sie diese erst mit einem Ihnen bekannten Verfahren umwandeln.

Beispiele

Beispiel 1: Gesucht ist der Abstand des Punktes \(P(5|8|9)\) von der Ebene \(E:\left[\vec x-\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}=0\)

Lösung: Zunächst wandeln wir die Normalenform in die Koordinatenform um, da sich mit dieser einfacher rechnen lässt:

\(\begin{align*} E&:&2x+3y+4z-(\underbrace{2\cdot 2+0\cdot 3+2\cdot 4}_{12})&=0&|+12\\ E&:&2x+3y+4z&=12\\ \end{align*}\)

Wir wenden das Verfahren an:

Schritt 1: Da die Hilfsgerade senkrecht auf der Ebene stehen soll, können wir den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der Geraden verwenden. Diesen lesen wir entweder an der Normalenform oder an den Koeffizienten der Koordinatenform ab.

Da \(P\) auf der Geraden liegen soll, verwenden wir den entsprechenden Ortsvektor als Stützvektor.

Hilfsgerade/Lotgerade: \(\quad h:\vec x=\begin{pmatrix}5\\8\\9\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}\)

Schritt 2: Wir berechnen den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene, indem wir die Koordinaten von \(h\) in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzen:

\(\begin{align*} 2(5+2t)+3(8+3t)+4(9+4t)&=12\\ 10+4t+24+9t+36+16t&=12 & &|-10-24-36\\ 29t&=-58 & &|:29\\ t&=-2 \end{align*}\)

Für die Berechnung der Koordinaten des Lotfußpunkts setzen wir den Parameter in die Geradengleichung ein:

\(\vec f=\begin{pmatrix}5\\8\\9\end{pmatrix}-2\cdot \begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} \quad \Rightarrow\quad F(1|2|1)\)

Schritt 3: Für den Abstand berechnen wir den Vektor \(\overrightarrow{PF}\) und anschließend dessen Länge:

\(\overrightarrow{PF}=\vec f-\vec p=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\\8\\9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\-6\\-8\end{pmatrix}\)

\(d=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2+(-8)^2}=\sqrt{116}\approx 10{,}77\text{ LE}\)

Der Punkt ist etwa 10,77 Längeneinheiten von der Ebene entfernt.

Die folgende Grafik zeigt das konkrete Zahlenbeispiel. Die Ebene ist wie üblich mithilfe ihrer Achsenabschnitte dargestellt. Die Linien zu den Punkten sollen dabei helfen, sich die Situation räumlich vorzustellen.

Abstand Punkt-Ebene: Lotfußpunktverfahren am Zahlenbeispiel

Beispiel 2: Welcher Punkt der Ebene \(E:2x-3y+6z=21\) ist dem Ursprung am nächsten? Welche Entfernung hat dieser Punkt zum Ursprung?

Lösung: Hinter dieser Formulierung steckt die gleiche Frage wie oben mit dem Ursprung \(O(0|0|0)\) als Punkt \(P\). Da der Stützvektor der Hilfsgeraden somit der Nullvektor ist, brauchen wir ihn nicht zu notieren. Der Lösungsweg in kompakter Form:

  1. Hilfsgerade \(\quad h:\vec x =t\,\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}\)
  2. \(h\) in \(E\):
    \(\begin{align*} 2\cdot 2t-3\cdot(-3t)+6\cdot 6t&=21\\ 49t&=21 & &|:49\\ t&=\tfrac 37 \end{align*}\)
    \(t \text{ in }h: \quad \vec f=\tfrac 37 \cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac 67\\ -\tfrac 97\\ \tfrac{18}{7}\end{pmatrix} \quad \Rightarrow\quad F\left(\tfrac 67 \big|-\tfrac 97 \big| \tfrac{18}{7}\right)\)
  3. \(\overrightarrow{OF}=\vec f-\vec 0= \begin{pmatrix}\tfrac 67\\ -\tfrac 97\\ \tfrac{18}{7}\end{pmatrix}\)
    \(d=|\overrightarrow{OF}|=\sqrt{\left(\tfrac{6}{7}\right)^2+\left(-\tfrac{9}{7}\right)^2+\left(\tfrac{18}{7}\right)^2}=\sqrt{9}=3\text{ LE}\)

Der Punkt \(F\left(\tfrac 67 \big|-\tfrac 97 \big| \tfrac{18}{7}\right)\) ist derjenige Punkt der Ebene, der dem Ursprung am nächsten ist, und er ist drei Längeneinheiten vom Ursprung entfernt.

Umkehraufgaben (Abstand gegeben, Punkt oder Ebene einer Schar gesucht) werden üblicherweise nicht mit dem Lotfußpunktverfahren gelöst, da oft sehr unangenehme Rechnungen entstehen.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 11.09.2012

Abstandsberechnungen im R3

Beispiele, Erklärungen

Aufgaben