Mathematik in der Oberstufe

Aufgaben zum Abstand Punkt-Ebene (Formel)

Die Aufgaben gehören zum Artikel Abstand Punkt-Ebene: Formel.

  1. Berechnen Sie jeweils den Abstand des Punktes zur Ebene. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis aus b.
    1. \(P(3|-1|2);\quad E:\left[\vec x-\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-2\end{pmatrix}=0 \)
    2. \(P(12|4|-2);\quad E:\left[\vec x-\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}=0\)
    3. \(P(-4|4|2); \quad E:8x+15z=-16\)
    4. \(P(4|7|-11);\quad E:\vec x=\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix}\)
  2. In der Ebene \(E:2x-2y+z=1\) liegt ein Drachenviereck mit den Eckpunkten \(A(0|-1|-1)\), \(B(-1|0|3)\), \(C(3|5|5)\) und \(D(3|2|-1)\) (Nachweis nicht erforderlich).
    1. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks.
    2. Das Drachenviereck wird durch \(S(8|-3|0)\) zu einer Pyramide ergänzt. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
  3. Zeigen Sie, dass die Gerade \(g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}\) parallel zur Ebene \(E:6x+7y-6z=6\) verläuft, und berechnen Sie den Abstand von \(g\) zu \(E\).
  4. Zeigen Sie, dass die Ebenen \(E:\left[\vec x-\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}2\\ -2\\3\end{pmatrix}=0\) und \(F:-4x+4y-6z=0\) parallel verlaufen, und berechnen Sie ihren Abstand.
  5. Welche Punkte der Geraden \(g:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}3\\1\\1 \end{pmatrix}\) haben von der Ebene \(E:\left[\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}4\\-4\\7\end{pmatrix}=0\) den Abstand \(d=5\,\)?
  6. Welche Ebenen der Schar \(E_t:3x+4y+t\,z=8\) haben vom Punkt \(P(1|0|-2)\) den Abstand \(d=1\,\)?

Lösungen

Letzte Aktualisierung: 18.09.2012

Abstandsberechnungen im R3

Beispiele, Erklärungen

Aufgaben