Mathematik in der Oberstufe

Abstand windschiefer Geraden: Lotfußpunktverfahren mit laufenden Punkten

Die Formel für den Abstand windschiefer Geraden liefert nur die minimale Entfernung, gibt aber keine Auskunft darüber, in welchen Punkten der Geraden der Abstand angenommen wird. Die Fußpunkte erhält man mit einem Lotfußpunktverfahren.

Auf dieser Seite arbeiten wir mit der Methode der „laufenden Punkte“ (allgemeine Punkte der Geraden), die ohne vorherige Berechnung eines Normalenvektors auskommt. Das Verfahren mit einer Hilfsebene finden Sie hier.

Vorgehensweise: Abstand windschiefer Geraden mit laufenden Punkten

Gegeben seien zwei windschiefe Geraden \(g\colon \vec x=\vec p+r\,\vec u\) und \(h\colon \vec x=\vec q+s\,\vec v\). Die Punkte \(F_g\) und \(F_h\) seien die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes. Die hellgrauen Hilfsebenen sollen nur das räumliche Vorstellungsvermögen unterstützen und haben für die Rechnung keine Bedeutung.

Abstand windschiefer Geraden: Lotfußpunktverfahren mit laufenden Punkten

Die Verbindungslinie \(\overrightarrow{F_gF_h}\) muss auf beiden Geraden und somit auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen. Wir müssen daher fordern, dass die jeweiligen Skalarprodukte Null ergeben. Daraus entsteht ein Gleichungssystem, mit dessen Lösung sich die Koordinaten der Fußpunkte berechnen lassen.

  1. Man erstellt allgemein den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{F_gF_h}\), der zunächst noch die Parameter der Geraden enthält.
  2. Aus den Bedingungen \(\overrightarrow{F_gF_h}\cdot \vec u=0\) und \(\overrightarrow{F_gF_h}\cdot \vec v=0\) berechnet man mithilfe eines Gleichungssystems die Parameter und somit die Fußpunkte \(F_g\) und \(F_h\).
  3. Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt \(d=\left|\overrightarrow{F_gF_h}\right|\).

Beispiel

Aufgabe: Gegeben sind die windschiefen Geraden \(g\colon \vec x=\begin{pmatrix}-7\\2\\-3\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\) und \(h\colon \vec x=\begin{pmatrix}-3\\-3\\3\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\). Gesucht sind der Abstand der Geraden und die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes.

Lösung:

Schritt 1: Die allgemeinen Geradenpunkte lauten \(F_g(-7|2+r|-3+2r)\) und \(F_h(-3+s|-3+2s|3+s)\). Damit ergibt sich der Verbindungsvektor als
\(\overrightarrow{F_gF_h}=\overrightarrow{f_h}-\overrightarrow{f_g}=\begin{pmatrix}-3+s\\-3+2s\\3+s\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\2+r\\-3+2r\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4+s\\-5+2s-r\\6+s-2r\end{pmatrix}\)

Schritt 2: Aus den Orthogonalitätsbedingungen ermitteln wir das Gleichungssystem:

\(\begin{alignat*}{3} \overrightarrow{F_gF_h}\cdot \vec u&\,=0 & \begin{pmatrix}4+s\\-5+2s-r\\6+s-2r\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}&\,=0\\ & & (4+s)\cdot 0+(-5+2s-r)\cdot 1+(6+s-2r)\cdot 2&\,=0\\ & & -5+2s-r+12+2s-4r&\,=0\\ & & 4s-5r&\,=-7&&\hspace{2em}\text{ I}\\ \overrightarrow{F_gF_h}\cdot \vec v&\,=0 & \begin{pmatrix}4+s\\-5+2s-r\\6+s-2r\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}&\,=0\\ & & (4+s)\cdot 1+(-5+2s-r)\cdot 2+(6+s-2r)\cdot 1&\,=0\\ & & 4+s-10+4s-2r+6+s-2r&\,=0\\ & & 6s-4r&\,=0&&\hspace{2em}\text{ II}\\ \end{alignat*}\)

Das so entstandene Gleichungssystem lösen wir mithilfe des Additionsverfahrens:

\(\begin{alignat*}{3} &\text{ I} & 4s-5r&\,=-7\\ &\text{ II} & 6s-4r&\,=0\\ &3\cdot\text{I}-2\cdot\text{II}& -7r&\,=-21&&\hspace{2em}|:(-7)\\ && r&\,=3\\ &r \text{ in II}&\hspace{2em} 6s-12&\,=0&&\hspace{2em}|+12\\ & & \hspace{2em}6s&\,=12&&\hspace{2em}|:6\\ & & s&\,=2\\ \end{alignat*}\)

Diese Werte setzen wir in die bisher allgemeinen Punkte ein, um die Koordinaten der gesuchten Fußpunkte zu erhalten.

\(r=3 \text{ in }F_g \quad \Rightarrow \quad F_g(-7|5|3)\)
\(s=2 \text{ in }F_h \quad \Rightarrow \quad F_h(-1|1|5)\)

Schritt 3: Für den Abstand berechnen wir zunächst den Verbindungsvektor und anschließend dessen Länge:

\(\overrightarrow{F_gF_h}=\overrightarrow{f_h}-\overrightarrow{f_g}=\begin{pmatrix}-1\\1\\5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-7\\5\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\-4\\2\end{pmatrix}\)
\(d(g,h)=\left|\overrightarrow{F_gF_h}\right|=\sqrt{6^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{56}\approx 7{,}48\text{ LE}\)

Die kürzeste Verbindung zwischen den Geraden besteht für die Punkte \(F_g(-7|5|3)\) auf \(g\) und \(F_h(-1|1|5)\) auf \(h\). Für diese Punkte beträgt die Entfernung etwa 7,48 Längeneinheiten.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 27.09.2012

Abstandsberechnungen im R3

Beispiele, Erklärungen

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