Mathematik in der Oberstufe

Aufgaben zum Abstand windschiefer Geraden (Lotfußpunktverfahren)

Die Aufgaben können mit der Methode der laufenden Punkte oder mit der Methode der Hilfsebene gelöst werden.

  1. Berechnen Sie den Abstand der windschiefen Geraden mithilfe des Lotfußpunktverfahrens.
    1. \(g\colon \vec x=\begin{pmatrix}1\\6\\4\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} \qquad h\colon \vec x=\begin{pmatrix}4\\-4\\3\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}\)
    2. \(g\colon \vec x=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}1\\-4\\1\end{pmatrix} \qquad h\colon \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\)
  2. In eine Pyramide mit der Grundkante \(a=90\,\text{m}\) und der Höhe \(h=60\,\text{m}\) führen zwei Schächte. Ein Schacht verläuft vom Punkt \(P(69|49|28)\) aus in Richtung \(\vec u=\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\end{pmatrix}\), ein zweiter vom Punkt \(Q(50|81|12)\) aus in Richtung \(\vec v=\begin{pmatrix}0\\-5\\-1\end{pmatrix}\) (Angaben in Meter).
    Die beiden Schächte sollen durch einen möglichst kurzen Schacht verbunden werden. Berechnen Sie, in welchen Punkten der vorhandenen Schächte die Bohrung beginnen bzw. enden muss. Berechnen Sie die Länge des Schachtes.
  3. Die Punkte \(R(1|-3|-5)\), \(S(6|8|-1)\) und \(T(-6|5|2)\) bilden ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge \(a=9\sqrt{2}\) (Nachweis nicht erforderlich).
    1. Weisen Sie nach, dass der Punkt \(U(-3|8|-10)\) das Dreieck zu einem regelmäßigen Tetraeder ergänzt.
    2. Die Kanten \(RS\) und \(TU\) sind windschief. Berechnen Sie die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes und weisen Sie nach, dass diese mit den Mittelpunkten der Kanten übereinstimmen. Berechnen Sie auch den Abstand der Kanten.

Lösungen

Letzte Aktualisierung: 27.09.2012

Abstandsberechnungen im R3

Beispiele, Erklärungen

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