Mathematik in der Oberstufe

Abstand windschiefer Geraden: Formel

Ist man nur am Abstand zweier windschiefer Geraden interessiert und benötigt nicht die Koordinaten derjenigen Punkte, in denen sich die Geraden am nächsten kommen, so berechnet man den Abstand am schnellsten mit einer Formel. Diese Formel wird kurz hergeleitet.

Anschließend folgt ein Beispiel.

Formel für den Abstand windschiefer Geraden

Die Geraden \(g:\vec x=\vec p+t\,\vec u\) und \(h:\vec x=\vec q+s\,\vec v\) seien windschief; der Vektor \(\vec n\) stehe senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Dann beträgt der Abstand dieser Geraden \(d=\dfrac{\left|\left( \vec q-\vec p\right)\cdot \vec n\right|}{\left|\vec n\right|}\).

Sie finden diese Formel auch in der Form \(d=\left|\left( \vec q-\vec p\right)\cdot \vec n_0\right|\). In diesem Fall zieht man den Nenner \(|\vec n|\) in den Zähler zum Normalenvektor und nutzt die Schreibweise \(\vec n_0=\dfrac{\vec n}{|\vec n|}\) für den Einheitsvektor. Diese Form scheint kompakter, bietet bei der konkreten Berechnung jedoch keinen Vorteil.

Begründung der Formel

Es ist kein Zufall, dass diese Formel mit der Formel für den Abstand eines Punktes zu einer Ebene übereinstimmt. Eine Hilfsebene wird so konstruiert, dass sie eine der beiden Geraden enthält und zur anderen Geraden parallel ist. Dafür erweitert man eine Gerade mithilfe des Richtungsvektors der anderen Geraden zu einer Ebene (da die Richtungsvektoren windschiefer Geraden linear unabhängig sind, entsteht auf jeden Fall eine Ebene).

In der folgenden Grafik sind beide Hilfsebenen eingezeichnet, auch wenn nur eine benötigt wird.

Abstand windschiefer Geraden: Herleitung der Formel

Wählen wir \(E_g:\vec x=\vec p+t\,\vec u+r\,\vec v\) als Hilfsebene, so stellen wir sie mithilfe eines geeigneten Normalenvektors in der Normalenform \(E_g:(\vec x-\color{#f00}{\vec p})\cdot \vec n=0\) dar. Der Abstand der beiden Geraden ist nun gleich dem Abstand des Punktes \(\color{#18f}{Q}\) zur Ebene \(E_g\), und diese Abstandsberechnung kennen wir: \(d=\dfrac{\left|\left( \color{#18f}{\vec q}-\color{#f00}{\vec p}\right)\cdot \vec n\right|}{\left|\vec n\right|}\).

Beispiel

Aufgabe: Gesucht ist der Abstand der Geraden \(g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\2 \end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\) und \(h:\vec x=\begin{pmatrix}3\\-7\\2\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}\).

Lösung: Die Vorzeichen in den Richtungsvektoren zeigen unmittelbar, dass die Geraden nicht parallel sind.

Zuerst benötigen wir einen Normalenvektor, den wir mithilfe des Vektorprodukts oder – wenn nicht bekannt – mithilfe eines Gleichungssystems ermitteln. Da seine Länge für die hier gewählte Formel keine Rolle spielt, können wir beliebige Vielfache wählen. Das nutzen wir aus, um einen „einfachen“ Vektor (möglichst kleine Zahlen, aber keine Brüche) zu bestimmen.

Natürlich können Sie das Vektorprodukt auch ohne Veränderung nutzen.

Methode 1: Vektorprodukt. Mit dem Ausklammern von \(-2\) erzeugen wir einfachere Zahlen.
\(\vec u\times\vec v=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9+1\\3+3\\-1-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\6\\-10\end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}\quad \text{wähle } \vec n=\begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}\)

Methode 2: Gleichungssystem. Mit der Wahl von \(n_3=5\) vermeiden wir Brüche.

\(\begin{alignat*}{6} \begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}&&\,=0 && \hspace{2em} \text{I}&&\hspace{3em} n_1&&+3n_2&&+n_3&&\,=0 \\ \begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}&&=0 && \hspace{2em} \text{II} && 3n_1&&-n_2&&-3n_3&&\,=0\\ && && \text{II}-3\cdot \text{I} && && -10n_2&&-6n_3&&\,=0 \hspace{3em}&|+6n_3\\ && && && && -10n_2&& &&\,=6n_3 &|:(-10)\\ && && && && n_2&& &&\,=-\tfrac 35 n_3\\ && && n_2 \text{ in I} &&n_1 && -\tfrac 95 n_3&& +n_3&&\,=0 &|+\tfrac 95 n_3-n_3\\ && && &&n_1 && && &&\,=\tfrac 45 n_3\\ && && \text{wähle } n_3=5 &&n_1 && && &&\,=4\\ && && && && n_2&& &&\,= -3\\ && && && && && \vec n&&\,= \begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}\\ \end{alignat*}\)

Zur Berechnung des Abstandes setzen wir in die Formel ein:

\(\begin{align*} d&=\dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}3\\-7\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{4^2+(-3)^2+5^2}} =\dfrac{\left|\begin{pmatrix}2\\-9\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{50}} =\dfrac{|8+27+0|}{\sqrt{50}}=\dfrac{35}{\sqrt{50}}\approx 4{,}95\text{ LE} \end{align*}\)

Auch beim Abstand windschiefer Geraden gibt es Aufgaben, in denen der Abstand gegeben ist und Parameter zu bestimmen sind. Die Rechenmethoden gleichen denen, wie sie auch bei der Abstandsberechnung Punkt–Ebene auftreten. Aufgaben dazu finden Sie in den Übungen, Lösungsmethoden im genannten Artikel.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 21.09.2012

Abstandsberechnungen im R3

Beispiele, Erklärungen

Aufgaben