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Die Normalparabel und ihre Verschiebung in y-Richtung

Auf dieser Seite geht es zunächst um die einfachste quadratische Funktion und ihre Verschiebung nach oben oder unten.

Die Normalparabel

Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion lautet $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Setzen wir $a = 1$ , $b = 0$ und $c = 0$ , so erhalten wir die einfachste quadratische Funktion mit der Gleichung $f (x) = x^{2}$ . Ihr Graph heißt Normalparabel:

Ihr Scheitelpunkt $S (0 | 0)$ liegt im Ursprung.

Damit keine Missverständnisse aufkommen: der Begriff Normalparabel wird oft für alle Graphen mit $a = 1$ verwendet. Die Parameter $b$ und $c$ müssen also nicht zwangsläufig Null sein. Sehen Sie jedoch den Begriff ohne weitere Zusätze, so ist damit auf jeden Fall der Graph von $f (x) = x^{2}$ gemeint.

Verschieben der Normalparabel nach oben oder unten

Etwas interessanter wird es nun, wenn wir die Parabel bestimmten Veränderungen unterwerfen. Als erstes untersuchen wir die Graphen von $f (x) = x^{2} + c$ (zum Verändern Schieberegler verwenden):

Für den Graphen der quadratischen Funktion $f (x) = x^{2} + c$ gilt:
Die Normalparabel wird um $c$ in Richtung der y-Achse verschoben, und zwar nach oben für positives $c$ und nach unten für $c < 0$ . Der Scheitelpunkt $S (x_{s} | y_{s})$ hat die Koordinaten $S (0 | c)$ , das heißt es gilt $x_{s} = 0$ und $y_{s} = c$ .

Punktprobe bei (verschobenen) Normalparabeln

Wie bei Geraden überprüft man auch hier, ob ein Punkt auf einer Parabel liegt, indem man die Koordinaten in die zugehörige Funktionsgleichung einsetzt.

Beispiel: Liegt der Punkt $P (- 1,5 | 1,25)$ auf dem Graphen von $f (x) = x^{2} - 1$ ?

Lösung: Es gibt zwei Lösungswege:

Man setzt beide Koordinaten ein und prüft, ob eine wahre Aussage entsteht:
$\begin{array}{rcll} (- 1,5)^{2} - 1 & = & 1,25 \\ 2,25 - 1 & = & 1,25 \\ 1,25 & = & 1,25 & wahre Aussage \end{array}$
Da eine wahre Aussage entstanden ist, liegt der Punkt auf der Parabel.
Man setzt nur die x-Koordinate ein und vergleicht anschließend mit der gegebenen y-Koordinate:
$f (- 1,5) = (- 1,5)^{2} - 1 = 2,25 - 1 = 1,25 = y_{p} \Rightarrow P$ liegt auf der Parabel.

Wäre eine falsche Aussage entstanden bzw. hätte der berechnete Funktionswert nicht mit $y_{p}$ übereingestimmt, so läge der Punkt nicht auf der Parabel.

Aufgabe: Bestimmen Sie $x$ so, dass der Punkt $P (x | 6,41)$ auf der Parabel mit der Gleichung $f (x) = x^{2} + 2$ liegt.

Lösung: Wir setzen die gegebenen Größen ein und lösen nach $x$ auf:

$\begin{array}{rcll} x^{2} + 2 & = & 6,41 & | - 2 \\ x^{2} & = & 4,41 & | \sqrt{} \\ x_{1 / 2} & = & \pm 2,1 \end{array}$

Es gibt also zwei Punkte, die die Bedingung erfüllen: $P_{1} (2,1 | 6,41)$ und $P_{2} (- 2,1 | 6,41)$ .

Parabelgleichung bestimmen

Bei unserer noch recht einfachen Parabel gibt es zwei Möglichkeiten, sie festzulegen.

Aufgabe: Die Normalparabel wird um zwei Einheiten nach unten verschoben. Geben Sie ihre Gleichung an.

Lösung: Zu rechnen gibt es nichts: $c = - 2$ lässt sich unmittelbar dem Aufgabentext entnehmen, und somit lautet die Gleichung $f (x) = x^{2} - 2$ .

Aufgabe: Eine in Richtung der y-Achse verschobene Normalparabel geht durch den Punkt $P (4 | 25)$ . Bestimmen Sie ihre Gleichung.

Lösung: Nun ist $c$ unbekannt, und wir wählen den Ansatz $f (x) = x^{2} + c$ . Durch die Punktprobe können wir den Parameter ermitteln:

$\begin{array}{rcll} 4^{2} + c & = & 25 \\ 16 + c & = & 25 & | - 16 \\ c & = & 9 \\ f (x) & = & x^{2} + 9 \end{array}$

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 01.08.2011

Die Normalparabel und ihre Verschiebung in y-Richtung