Mathematik in der Oberstufe

Nullstellenform der Parabel

An der Scheitelform kann man den Scheitelpunkt ablesen, an der allgemeinen Form den y-Achsenabschnitt. Gibt es auch eine Form, an der man die Nullstellen ablesen kann? Ja, gibt es, nämlich die Nullstellenform oder Linearfaktorzerlegung – natürlich nur dann, wenn die Parabel die x-Achse schneidet.

Motivation

In einem Spezialfall haben Sie die Nullstellenform bereits gesehen: wenn eine Parabel die Gleichung f(x)=a(x−xs)2 hat, so liegt ihr Scheitel auf der x-Achse: S(xs|0). Die – doppelte – Nullstelle liegt also bei x=xs.

Schreiben wir das Quadrat als Produkt von zwei gleichen Faktoren, so lautet die Gleichung f(x)=a(x−xs)(x−xs). Was passiert nun, wenn wir statt xs in beiden Klammern zwei verschiedene Zahlen wählen?

In der folgenden Grafik sind in der Ausgangslage beide Zahlen identisch; durch Ziehen am roten Punkt werden zwei daraus. Zusätzlich kann der Streckfaktor mithilfe des Schiebereglers verändert werden. Beobachten Sie, wie sich die Gleichung verändert.

Nehmen wir als Beispiel die Funktion mit der Gleichung f(x)=12(x−4)(x+3). Laut Graph (ziehen Sie die Punkte dorthin) müssten die Nullstellen bei x1=4 und x2=−3 liegen. Wir setzen zur Probe ein:

f(4)=12⋅(4−4)⋅(4+3)=12⋅0⋅7=0✓

f(−3)=12⋅(−3−4)⋅(−3+3)=12⋅(−7)⋅0=0✓

Einer der beiden Faktoren ist Null, sodass das Produkt Null ergibt. Das gilt – zumindest in der Schule – auch umgekehrt: ist ein Produkt Null, so ist mindestens einer der Faktoren Null (Satz vom Nullprodukt). Auch ohne Graph lassen sich daher die Nullstellen ermitteln:

12(x−4)(x+3)=0|:12 bzw. ⋅2(x−4)(x+3)=0x−4=0 oder x+3=0x1=4x2=−3

Wenn wir das Verfahren auf die verallgemeinerte Gleichung a(x−x1)(x−x2)=0 anwenden, so erhalten wir entsprechend x=x1 und x=x2 als Lösungen.

Die Darstellung f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0) einer quadratischen Funktion heißt Nullstellenform, Nullstellengleichung oder Linearfaktordarstellung. Die Werte x1 und x2 sind die Nullstellen der Funktion. Die zugehörige Parabel schneidet die x-Achse in den Punkten N1(x1|0) und N2(x2|0).

Die Terme x−x1 bzw. x−x2 heißen Linearfaktoren, weil in ihnen die Variable x nur in erster Potenz – also linear – vorkommt (x=x1).

Damit kann man nun die Nullstellen einer quadratischen Funktion einfach ablesen, wenn sie in Linearfaktordarstellung gegeben ist:

f(x)=3(x+2)(x−43)⇒x1=−2;x2=43

f(x)=−34(x+3)2⇒x1/2=−3

f(x)=−2x(x−5)⇒x1=0;x2=5. Die erste Nullstelle ergibt sich aus der Darstellung f(x)=−2x(x−5)=−2(x−0)(x−5).

Von den Nullstellen zur Nullstellenform

Neben den Nullstellen muss eine weitere Angabe vorliegen, aus der sich der Streckfaktor ermitteln lässt. Auf dieser Seite gehe ich davon aus, dass der Streckfaktor unmittelbar gegeben ist. (Für andere Fälle siehe hier.)

Beispiel: Eine quadratische Funktion hat Nullstellen bei x1=2 und x2=−3. Die zugehörige Parabel hat die Form einer nach unten geöffneten Normalparabel. Wie lautet ihre Gleichung?

Lösung: Die Linearfaktoren sind x−x1=x−2 und x−x2=x−(−3)=x+3. Der Streckfaktor ist a=−1. Damit hat die Parabel die Gleichung f(x)=−(x−2)(x+3).

Von der Nullstellenform zur allgemeinen Form

In der Grafik war neben der Nullstellengleichung stets auch die allgemeine Form (Polynomform) angegeben. Diese entsteht durch Ausmultiplizieren. Als Beispiel wählen wir wieder die Funktion von oben:

f(x)=12(x−4)(x+3)=12(x2+3x−4x−12)=12(x2−x−12)| * s.u.f(x)=12x2−12x−6

Sie können die Klammern auch in anderer Reihenfolge auflösen:

f(x)=12(x−4)(x+3)=(12x−2)(x+3)=12x2+32x−2x−6f(x)=12x2−12x−6

Die zweite Variante ist ungünstiger, und das nicht nur wegen der frühzeitig auftretenden Brüche. Sollen Sie nämlich die Parabel mithilfe der quadratischen Ergänzung in Scheitelform angeben, so ist die Form * (s.o.) die beste Ausgangslage.

Von der allgemeinen Form zur Nullstellengleichung

Aus der allgemeinen Form ermittelt man die Nullstellenform, indem man zunächst die Nullstellen berechnet.

Beispiel: Die Funktionsgleichung f(x)=−2x2+6x+8 soll in Linearfaktordarstellung angegeben werden.

Lösung: Wir berechnen die Nullstellen:

−2x2+6x+8=0|:(−2)x2−3x−4=0|pq−Formelx1/2=32±322+4=32±254x1=32+52=4x2=32−52=−1

Die Linearfaktoren sind somit x−4 und x−(−1)=x+1. Da die Parabel mit dem Faktor a=−2 gestreckt ist, erhalten wir als Nullstellengleichung f(x)=−2(x−4)(x+1).

Beispiel: Gesucht ist die Linearfaktordarstellung von f(x)=12x2+2x+2.

Lösung: Wir berechnen die Nullstellen:

12x2+2x+2=0|:12 bzw. ⋅2x2+4x+4=0|pq−Formelx1/2=−42±422−4x1=−2x2=−2

Beide Lösungen stimmen überein, und die Nullstellengleichung lautet f(x)=12(x+2)(x+2)=12(x+2)2.

Nicht jede quadratische Funktion lässt sich als Nullstellengleichung schreiben. Die Funktion f(x)=x2+2x+2 hat keine Nullstellen und lässt sich daher nicht faktorisieren.

Nullstellenform bei nicht ganzzahligen Nullstellen

Wie gibt man die Nullstellenform an, wenn man bei der Lösung der Gleichung „krumme“ Werte erhält, also Brüche oder gar Wurzeln (irrationale Zahlen)?

Brüche sollte man immer stehen lassen. Bei Wurzeln ist das nicht ganz so eindeutig und hängt von der Schule ab, die man besucht: an Fachoberschulen wird man eher die gerundeten Werte verwenden, an Gymnasien eher die exakten Werte. Schauen wir uns zwei Beispiele an (die Nullstellenberechnung führe ich nicht mehr vor).

Beispiel: Die Funktion f(x)=3x2−8x+4 hat die Nullstellen x1=2 und x2=23. Als Nullstellengleichung wird man auf jeden Fall f(x)=3(x−2)(x−23) angeben.

Beispiel: Die Funktion f(x)=−x2+2x+2 hat die Nullstellen x1=1+3≈2,73 und x2=1−3≈−0,73.

Verwendung der gerundeten Werte:
f(x)=−(x−2,73)(x+0,73)

Verwendung der exakten Werte:
Die Linearfaktoren lauten x−(1+3)=x−1−3 und x−(1−3)=x−1+3. Die Nullstellengleichung ist daher f(x)=−(x−1−3)(x−1+3).

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 07.11.2011