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Mathematik in der Oberstufe

Gegenseitige Lage zweier Parabeln

Hat man zwei Funktionen gegeben, so wird direkt nach Schnittpunkten oder etwas indirekter nach der gegenseitigen Lage gefragt. Damit ist gemeint, ob sich die zugehörigen Graphen schneiden und wenn ja, in welchen Punkten. Auf dieser Seite untersuchen wir die Lage zweier Parabeln (Graphen einer quadratischen Funktion) zueinander, zunächst anschaulich, dann rechnerisch.

Anschauung

Schauen Sie sich zunächst graphisch an, wie zwei Parabeln zueinander liegen können. Eine Parabel ist fest gewählt; die Parameter der anderen Parabel können Sie mithilfe der Schieberegler verändern. Wählen Sie insbesondere auch einmal $a=0{,}5$ und verändern Sie dann $b$ und $c$.

Falls die gemeinsamen Punkte außerhalb des Zeichenbereichs liegen, können Sie sie heranzoomen, indem Sie auf das „-“ in der kleinen Navigationsleiste rechts unten klicken. Mit Klick auf „$\circ$“ kommen Sie in einem Schritt wieder zur ursprünglichen Größe.

Sie sollten folgende Möglichkeiten ermittelt haben:

Gegenseitige Lage zweier Parabeln

Zwei Parabeln können

  • sich in einem Punkt berühren.
  • sich in zwei Punkten schneiden.
  • sich in einem Punkt schneiden.
  • identisch sein.
  • keine gemeinsamen Punkte haben.

Berechnungsverfahren

Damit Sie die verschiedenen Fälle in der Grafik verfolgen können, verwende ich in den Beispielen stets die Parabel mit der Gleichung $f(x)=\frac 12 x^2-\frac 12x+1$. Zu bestimmen ist jeweils die Lage zu einer zweiten Parabel. Sind gemeinsame Punkte vorhanden, so sollen die Koordinaten bestimmt werden.

Beispiel 1: Gegeben ist die Parabelgleichung $g(x)=-\frac 14 x^2+\frac 52 x-2$.

Lösung: Wir suchen nach den Werten $x$, für die die Funktionsterme den gleichen Wert $y$ annehmen. Dafür setzen wir die Terme gleich und formen so um, dass wir die $pq$-Formel anwenden können:

$\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ \tfrac 12 x^2-\tfrac 12x+1&=-\tfrac 14 x^2+\tfrac 52 x-2 & & |+\tfrac 14 x^2-\tfrac 52 x+2\\ \tfrac 34 x^2-3x+3&=0 & & |:\tfrac 34 \text{ bzw. } \cdot \tfrac 43\\ x^2-4x+4&=0 & & |pq-\text{Formel}\\ x_{1/2}&=2\pm \sqrt{2^2-4}\\ x_1&=\color{#f00}{2}\\ x_2&=2\\ \end{align*}$

Da wir zweimal dieselbe Lösung erhalten, fallen die zwei „Schnittpunkte“ zu einem Berührpunkt zusammen. Zur Berechnung des $y$-Wertes setzen wir in eine (beliebige) der beiden Funktionsgleichungen ein:

$f(\color{#f00}{2})=\frac 12 \cdot \color{#f00}{2}^2-\frac 12 \cdot \color{#f00}{2}+1=\color{#1a1}{2} \quad B(\color{#f00}{2}|\color{#1a1}{2})$

Beispiel 2: Gegeben ist die Parabelgleichung $g(x)=-\frac 14 x^2+3x-2$.

Lösung: Wir setzen wieder die Funktionsterme gleich:

$\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ \tfrac 12 x^2-\tfrac 12x+1&=-\tfrac 14 x^2+3 x-2 & & |+\tfrac 14 x^2-3 x+2\\ \tfrac 34 x^2-\tfrac 72 x+3&=0 & & |:\tfrac 34 \\ x^2-\tfrac{14}{3}x+4&=0 & & |pq-\text{Formel}\\ x_{1/2}&=\tfrac 73 \pm \sqrt{\left(\tfrac 73 \right)^2-4}\\ x_1&=\tfrac 73 + \sqrt{\tfrac{13}{9}}\approx \color{#f00}{3{,}54}\\ x_2&=\tfrac 73 - \sqrt{\tfrac{13}{9}}\approx \color{#18f}{1{,}13}\\ \end{align*}$

Zur Berechnung der Funktionswerte setzen wir die exakten (im Taschenrechner gespeicherten) Werte jeweils in eine der beiden Funktionsgleichungen ein:

$\begin{align*} f(\color{#f00}{3{,}54})&\approx\color{#1a1}{5{,}48} & & P_1(\color{#f00}{3{,}54}|\color{#1a1}{5{,}48})\\ f(\color{#18f}{1{,}13})&\approx\color{#a61}{1{,}07} & & P_2(\color{#18f}{1{,}13}|\color{#a61}{1{,}07})\\ \end{align*}$

Beispiel 3: Gegeben ist die Parabelgleichung $g(x)=\frac 12 x^2+x-1$.

Lösung: Wir setzen wieder gleich. Da das quadratische Glied verschwindet, können wir ganz einfach auflösen:

$\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ \tfrac 12 x^2-\tfrac 12x\color{#18f}{+1}&=\tfrac 12 x^2\color{#f00}{+ x}-1 & & |-\tfrac 12 x^2\color{#f00}{- x} \color{#18f}{-1}\\ -\tfrac 32 x&=-2 & & |:\left(-\tfrac 32\right)\\ x&=\tfrac 43\\ \end{align*}$

Im Vergleich zu Beispiel 1 erhalten wir nur eine einfache (keine doppelte) Lösung. Die Parabeln schneiden sich daher in einem Punkt:

$f\left(\tfrac 43\right)=\tfrac 12 \cdot \left(\tfrac 43\right)^2-\tfrac 12 \cdot \tfrac 43 +1=\tfrac{11}{9} \quad P\left(\tfrac 43\big| \tfrac{11}{9}\right)$

Beispiel 4: Gegeben ist die Parabelgleichung $g(x)=\frac 12 \left( x-\frac 12 \right)^2+\frac 78$.

Lösung: Zunächst formen wir den Term von $g$ mithilfe der zweiten binomischen Formel in die allgemeine Form um:

$\begin{align*} g(x)&=\tfrac 12 \left(x^2-x+\tfrac 14\right)+\tfrac 78\\ &= \tfrac 12 x^2-\tfrac 12 x +\tfrac 18 +\tfrac 78\\ &= \tfrac 12 x^2-\tfrac 12 x +1\\ \end{align*}$

Die Funktionsterme von $f$ und $g$ stimmen überein. Eine weitere Rechnung ist somit nicht erforderlich: die zugehörigen Parabeln sind identisch.

Beispiel 5: Gegeben ist die Parabelgleichung $g(x)=x^2-\frac 12 x+2$.

Lösung: Wir setzen wieder die Funktionsterme gleich. Da das lineare Glied entfällt, bringen wir die Gleichung auf die Form $x^2=\text{Zahl}$:

$\begin{align*} \tfrac 12 x^2-\tfrac 12x+1&= x^2-\tfrac 12 x+2 & & |- x^2+\tfrac 12 x -1\\ -\tfrac 12 x^2&=1 & & |:\left(-\tfrac 12\right) \\ x^2&=-2\\ \end{align*}$

Da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann, hat diese Gleichung keine (reelle) Lösung. Die beiden Parabeln haben keine gemeinsamen Punkte.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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