Impressum Datenschutz

Mathematik in der Oberstufe

Quadratische Funktionen: Einführung

Schon in der Mittelstufe haben Sie Parabeln kennengelernt. Auf dieser Seite wiederholen wir die Begriffe und schauen uns den Graphen an. Erst in weiteren Artikeln wird die Funktion systematisch untersucht.

Begriffe

Eine Funktion mit der Gleichung \[f(x)=ax^2+bx+c\;\text{ mit }\; a\not=0\] heißt quadratische Funktion. Ihr Graph wird Parabel genannt.

Wenn Sie in einer Aufgabe das Stichwort Parabel ohne weitere Zusätze lesen, ist damit immer der Graph einer quadratischen Funktion gemeint. (Falls Sie einmal etwas von „Parabel dritter Ordnung“ lesen: dies ist der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. Die Bezeichnung ist aber heutzutage recht unüblich geworden.)

Manchmal benennt man die Terme einzeln: der Term $ax^2$ heißt quadratisches, der Term $bx$ lineares und der Term $c$ absolutes Glied. Die oben angegebene Schreibweise nennt man allgemeine Form oder auch Polynomform.

Wenn der Parameter $a$ Null wird, entfällt das quadratische Glied, und es liegt eine lineare Funktion vor.

Der Graph

In der folgenden Grafik können Sie mithilfe der Schieberegler die Parameter der quadratischen Funktion ändern. Die mit einem roten Kreuz markierten Punkte sind dabei diejenigen, die mit der fast schon klassischen Wertetabelle für $-3\leq x\leq 3$ berechnet werden.

Der Punkt $S$ ist der Scheitelpunkt der Parabel; er ist je nach Öffnung der höchste oder tiefste Punkt. Oft werden seine Koordinaten mit $S(x_s|y_s)$ bezeichnet, aber auch $S(d|e)$ ist nicht unüblich.

Vielleicht haben Sie beim Probieren schon festgestellt, dass sich die Form nicht wesentlich ändert, Parabeln also mehr oder weniger immer gleich aussehen. Wir werden diese Ähnlichkeit später mathematisch erfassen, indem wir die Gleichung auf eine typische Art schreiben, nämlich mithilfe der Scheitel(punkt)form $f(x)=a\left(x-x_s\right)^2+y_s$.

Diese Form wird uns auch helfen, die Parabel zu zeichnen. Wenn Sie oben für $a=0{,}25$, $b=-2{,}5$ und $c=3$ wählen, würde in unserer klassischen Wertetabelle der Scheitelpunkt schon gar nicht mehr erfasst. Mithilfe der Scheitelform können wir die Wertetabelle fast völlig vermeiden oder zumindest geschickter wählen.

Bedeutung des Themas

Wie bei den linearen gibt es auch bei den quadratischen Funktionen zunächst keine neuen Rechentechniken: fast alles ist bereits aus der Mittelstufe bekannt. Es geht vielmehr darum, bestimmte Herangehensweisen zu erlernen, die für die Oberstufe typisch sind. Nehmen Sie das Thema also nicht allzu leicht.

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

Teilen Info Bei den "Teilen"-Schaltflächen handelt es sich um rein statische Verlinkungen, d.h. sie senden von sich aus keinerlei Daten an die entsprechenden sozialen Netzwerke. Erst wenn Sie einen Link anklicken, öffnet sich die entsprechende Seite.

Werbung

.