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Mathematik in der Oberstufe

Gestreckte Parabeln

Auf dieser Seite geht es um quadratische Funktionen mit der Gleichung $f(x)=ax^2$, ihre Graphen sowie die Bestimmung von Funktionsgleichungen.

Graph

Zunächst schauen wir den Graphen von $f(x)=ax^2$ an. Durch Ziehen am Schieberegler können Sie den Parameter $a$ verändern. Achten Sie in der ersten Grafik auf den Unterschied zur Normalparabel mit $a=1$ (hellgrau zum Vergleich eingezeichnet). Wovon hängt es ab, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist? Was hat in der zweiten Grafik der Punkt mit dem Parameter zu tun?

Die Begriffe, die die Veränderungen beschreiben, stimmen in den verschiedenen Schulbüchern nicht genau überein. Wenn wir uns zunächst auf die erste Grafik konzentrieren, könnte eine in alle Einzelheiten gehende Aufteilung so aussehen:

  • $a>1$: Die Parabel ist nach oben geöffnet und schmaler (enger) als die Normalparabel. Der Graph ist gestreckt (im engeren Sinne) bzw. gedehnt.
  • $a=1$: Dies ist die nach oben geöffnete Normalparabel.
  • $0<a<1$: Die Parabel ist nach oben geöffnet und weiter (breiter) als die Normalparabel. Der Graph ist gestaucht.
  • $-1<a<0$: Die Parabel ist nach unten geöffnet und weiter (breiter). Der Graph ist gestaucht und an der $x$-Achse gespiegelt.
  • $a=-1$: Dies ist die nach unten geöffnete Normalparabel.
  • $a<-1$: Die Parabel ist nach unten geöffnet und schmaler (enger). Der Graph ist gedehnt und an der $x$-Achse gespiegelt.

Manche Bücher und Lehrer unterscheiden nicht zwischen Dehnung und Stauchung, sondern sprechen allgemein von einer Streckung, die beide Fälle einschließt.

Die Formulierungen „nach unten geöffnet“ und „an der $x$-Achse gespiegelt“ bedeuten natürlich das gleiche und müssen nicht beide genannt werden. Richten Sie sich einfach nach der Sprechweise Ihres Lehrers.

Sie haben gesehen, dass der Punkt in der zweiten Grafik als $y$-Koordinate stets den Wert $a$ hat. Durch Einsetzen ist das leicht nachzuweisen:
$f(1)=a\cdot 1^2=a$.

Ebenso gilt: $f(-1)=a\cdot (-1)^2=a$.

Der Graph der Funktion $f(x)=ax^2$ ist eine Parabel, die aus der Normalparabel durch Strecken in Richtung der $y$-Achse mit dem Faktor $a$ hervorgeht. Für $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet, für $a<0$ nach unten bzw. an der $x$-Achse gespiegelt. Sie geht durch die Punkte $P_1(1|a)$ und $P_2(-1|a)$.

Insbesondere die letzte Eigenschaft hilft beim Zeichnen: geht man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts oder links, so geht man $a$ Einheiten in Richtung der $y$-Achse. Aber Vorsicht: verwechseln Sie das nicht mit dem Steigungsdreieck bei Geraden! Denn wenn man – wiederum vom Scheitelpunkt aus – zwei Einheiten nach rechts geht, geht man wegen $f(2)=a\cdot 2^2=4a$ in diesem Fall $4a$ Einheiten nach oben bzw. unten und nicht etwa $2a$, wie es bei einer Geraden der Fall wäre.

Gleichung einer gestreckten Parabel bestimmen

Dieser Aufgabentyp tritt besonders häufig bei Anwendungsaufgaben auf.

Beispiel 1: Gesucht sind die Gleichungen der Parabeln im Koordinatensystem.

Lösung: Für die nach unten geöffnete Parabel können wir den Punkt $P(\color{#18f}{1}|\color{#a61}{-2})$ ablesen, und die Funktion hat somit die Gleichung $f(x)=\color{#a61}{-2}x^2$.

Bei der nach oben geöffneten Parabel kann man den Funktionswert an der Stelle $x=1$ nicht genau erkennen, aber immerhin ist der Punkt $Q(\color{#f00}{5}|\color{#1a1}{5})$ klar ablesbar. Den Streckfaktor $a$ kann man nun durch Einsetzen berechnen:

$\begin{align*}\color{#1a1}{5}&=a\cdot \color{#f00}{5}^2\\5&=25a&&|:25\\ \tfrac 15&=a\\ g(x)&=\tfrac 15x^2\end{align*}$

Beispiel 2: Eine Brücke hat die Form einer nach oben geöffneten Parabel. Sie ist 100 m lang und 5 m hoch. Bestimmen Sie eine Gleichung.

Lösung: Wir gehen von einer gestreckten Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung aus, die die Gleichung $f(x)=ax^2$ hat. Vom Ursprung aus geht es jeweils 50 m nach rechts und links, so dass wir den Punkt $P(50|5)$ kennen (die zweite Koordinate ist die Höhe). Wie oben setzen wir in den Ansatz ein:

$\begin{align*}5&=a\cdot 50^2\\5&=2500a&&|:2500\\ \tfrac{1}{500}&=a\\ f(x)&=\tfrac{1}{500}x^2\end{align*}$

Falls Sie sich über den unbestimmten Artikel in „eine Gleichung“ wundern: in der Aufgabe war die Lage der Brücke im Koordinatensystem nicht vorgegeben. Auf dieser Seite befassen wir uns zwar nur mit dem Typ $f(x)=ax^2$, aber grundsätzlich wären auch weitere Lagen möglich und sinnvoll:

Die Gleichung wäre dann jeweils eine andere, aber das wird erst später Thema sein.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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