Mathematik in der Oberstufe

Lösungen: Parabelgleichung aus Punkt und Scheitelpunkt bestimmen

Da ich den Rechenweg ausführlich im zugehörigen Artikel beschrieben habe, finden Sie hier nur Kurzlösungen.

  1. Gleichung in Scheitelform und in allgemeiner Form
    1. f(x)=15(x+3)2+1=15x2+65x+145
    2. f(x)=−12(x−1)2+4=−12x2+x+3.5
    3. f(x)=2(x−10)2−8=2x2−40x+192
  2. Es war eine Gleichung gefragt; demnach genügt die Angabe in Scheitelpunktform. Als Zusatz habe ich noch die allgemeine Form angegeben. Es sind alle günstigen Punkte markiert, die Sie für die Berechnung verwenden können.
    Parabeln f(x)=4(x−3)2−2=4x2−24x+34g(x)=34(x+2)2−2=34x2+3x+1h(x)=−3(x+3)2+2=−3x2−18x−25i(x)=−14(x−1)2+3=−14x2+12x+2.75k(x)=316(x−5)2+1=316x2−158x+9116
  3. Auch hier reicht die Scheitelform; zusätzlich habe ich die allgemeine Form angegeben.
    1. S(5|4);P(8|0)⇒f(x)=−49(x−5)2+4=−49x2+409x−649
    2. S(−2|0);P(0|−2)⇒f(x)=−(x+2)2=−x2−4x−4
    3. S(3|−1);P(0|0)⇒f(x)=19(x−3)2−1=19x2−23x
    4. S(0|0);P(2|−1)⇒f(x)=−14x2
      Scheitelform und allgemeine Form stimmen überein, da die Parabel nicht nach rechts oder links verschoben ist.
  4. Parabelförmiger Brückenbogen
    Brückenbogen in vier Lagen im Koordinatensystem A) f(x)=1500x2=0.002x2
    B) f(x)=1500(x−50)2=0.002x2−0.2x+5
    C) f(x)=1500x2−5=0.002x2−5
    D) f(x)=1500(x−50)2−5=0.002x2−0.2x
  5. Da S(2|3) laut Aufgabenstellung der höchste Punkt ist, muss für jeden weiteren Punkt der Parabel gelten, dass seine y-Koordinate nicht höher als die des Scheitelpunktes ist: y≤3. Die y-Achse kann daher nicht in y=4 geschnitten werden.
    Wenn man die Gleichung aufzustellen versucht, erhält man als „Lösung“ die nach oben geöffnete Parabel mit der Gleichung f(x)=14(x−2)2+3. Der Scheitel S(2|3) erweist sich entgegen der Aufgabenstellung als tiefster Punkt.

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Letzte Aktualisierung: 09.11.2011