Mathematik in der Oberstufe

Lösungen: Ermitteln der Parabelgleichung aus drei Punkten

Ausführlich vorgerechnete Beispiele finden Sie im zugehörigen Artikel. Da die meisten Fehler beim Aufstellen des Gleichungssystems (LGS) passieren (Vorzeichen!), habe ich die Gleichungen angegeben.

  1. Gleichung der Parabel durch drei Punkte
    1. LGS:
      I4a−2b+c=8IIa+b+c=−4III9a+3b+c=−2
      Gleichung: f(x)=x2−3x−2
    2. LGS:
      I16a−4b+c=−22II4a−2b+c=−8III4a+2b+c=8
      Gleichung: f(x)=−12x2+4x+2
    3. LGS:
      I36a−6b+c=18II9a+3b+c=0III20,25a+4,5b+c=7,5
      Gleichung: f(x)=23x2−6
    4. LGS:
      Ic=−3IIa+b+c=−1III9a+3b+c=−9
      Gleichung: f(x)=−2x2+4x−3
    5. LGS:
      I6,25a−2,5b+c=5II4a−2b+c=0IIIa+b+c=12
      Gleichung: f(x)=4x2+8x
  2. Punkte: A(0|−12);B(−6|0);C(4|0); LGS:
    Ic=−12II36a−6b+c=0III16a+4b+c=0
    Gleichung: f(x)=12x2+x−12
    Die Aufgabe lässt sich auch über den Nullstellenansatz lösen.
    1. Dritter Punkt: C(1|1,9) (oder C(19|1,9) ); LGS:
      Ic=0II400a+20b+c=0IIIa+b+c=1,9
      Gleichung: f(x)=−110x2+2x
      Die Funktionsgleichung kann man auch mittels der Nullstellengleichung bestimmen.
    2. Der Bogen ist am höchsten in der Mitte: f(10)=−110⋅102+2⋅10=10. Der Brückenbogen ist 10 m hoch.
      Alternativ kann man den Scheitelpunkt berechnen, der bei S(10|10) liegt.
  4. Da man hier unterschiedliche Lösungswege einschlagen kann, habe ich auf die Angabe des LGS verzichtet. Beispiele finden Sie im Artikel.
    1. Gerade f(x)=−13x+83
    2. Parabel f(x)=0,01x2+0,1x+1
    3. Bei dieser Aufgabe ist Rechnen überflüssig, wenn man geschickt argumentiert: Da alle x-Koordinaten verschieden und alle y-Koordinaten gleich sind (nämlich 4), liegen die Punkte auf der Geraden y=4.
    4. Parabel f(x)=−14x2−4x+10

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Letzte Aktualisierung: 09.11.2011