Achsenschnittpunkte einer Parabel

Auf dieser Seite geht es um die Punkte, in denen eine Parabel die Koordinatenachsen schneidet. Dabei betrachten wir sowohl die Scheitelform als auch die allgemeine Form.

Achsenschnittpunkte im Graphen

Zunächst schauen wir uns an, an welchen Stellen eine Parabel die Achsen schneiden kann. Den Scheitel können Sie direkt verschieben; die Öffnung (den Streckfaktor) können Sie mit dem Schieberegler verändern.

Können Sie an der Scheitelform $f(x)=a(x-x_s{)}^2+y_s$ die Anzahl der Nullstellen (wenn auch nicht ihre konkrete Lage) erkennen? Was verrät Ihnen die allgemeine Form $f(x)=a{x}^2+bx+c$?

Wenn Sie verschiedene Lagen ausprobiert haben, sollten Sie die folgenden Erkenntnisse gewonnen haben:

• Die Parabel schneidet immer die y-Achse. Den Wert kann man in der allgemeinen Form ablesen.
• Die Parabel kann die x-Achse an keiner, einer oder zwei Stellen schneiden. An der Scheitelform kann man die Fälle wie folgt unterscheiden:
  • Es gibt keine Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist ($y_s><!--\; >\; -->0$ und $a><!--\; >\; -->0$) oder wenn der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist($y_s<<!--\; <\; -->0$ und $a<<!--\; <\; -->0$).
  • Es gibt genau eine (doppelte) Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt ($y_s=0$). In diesem Fall sagt man, dass die Parabel die x-Achse berührt.
  • Es gibt zwei verschiedene Nullstellen, wenn der Scheitel unterhalb der x-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist ($y_s<<!--\; <\; -->0$ und $a><!--\; >\; -->0$) oder wenn der Scheitel unterhalb der x-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist ($y_s><!--\; >\; -->0$ und $a<<!--\; <\; -->0$).

Berechnung des Schnittpunktes mit der y-Achse

Bei den Geraden hatten wir gesehen, dass man den Schnittpunkt mit der y-Achse stets durch Einsetzen von Null in die Funktionsgleichung erhält. Wenn die Gleichung der Parabel in allgemeiner Form vorliegt, können wir den y-Achsenabschnitt einfach ablesen:

$f(0)=a\cdot <!--\; \cdot \; -->0^2+b\cdot <!--\; \cdot \; -->0+c=c\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->S_y(0|c)$

Das Absolutglied $c$ gibt also den y-Achsenabschnitt (Ordinatenabschnitt) an.

Und wenn nur die Scheitelform gegeben ist? Dann wandelt man entweder in die allgemeine Form um oder setzt sofort \(x=0\) ein.

Beispiel: Gesucht ist der Schnittpunkt des Graphen von $f(x)=2(x-3{)}^2-4$ mit der y-Achse.

Lösungsmethode 1: Umwandeln

$\begin{array}{rcl}f(x)& =& 2(x-3{)}^2-4\\ & =& 2(x^2-6x+9)-4\\ & =& 2x^2-12x+18-4\\ f(x)& =& 2x^2-12x+14\\ f(0)& =& 14& \Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->S_y(0|14)\end{array}$

Lösungsmethode 2: Einsetzen

$f(0)=2(0-3{)}^2-3=2\cdot <!--\; \cdot \; -->(-3{)}^2-4=2\cdot <!--\; \cdot \; -->9-4=14\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->S_y(0|14)$

Die zweite Methode ist deutlich schneller – allerdings lässt sich das so eindeutig nur dann sagen, wenn sonst keine Rechnungen mit der Funktionsgleichung erforderlich sind. Sind weitere Untersuchungen gefragt, ist es oft günstiger, die Scheitelform zunächst in die allgemeine Form umzuwandeln, wenn letztere später sowieso benötigt wird.

Berechnung der Schnittpunkte mit der x-Achse

Bei den Geraden hatten wir überlegt, dass wir die Nullstelle erhalten, indem wir den Funktionsterm gleich Null setzen, da für Punkte auf der x-Achse $y=0$ ist. Dieses Prinzip wenden wir wieder an.

Auch die Schnittpunkte mit der x-Achse können mit beiden Gleichungsformen berechnet werden. Fast alle Schüler bevorzugen jedoch die Variante mit der allgemeinen Form, sodass wir uns diese Rechnung zuerst ansehen.

Beispiel: Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung $f(x)=2x^2-12x+14$. Gesucht sind ihre Schnittpunkte mit der x-Achse.

Lösung: Wir setzen $f(x)=0$ und lösen nach $x$ auf.

$\begin{array}{rcll}2x^2-12x+14& =& 0& |:2\\ x^2-6x+7& =& 0& |pq\text{-Formel}\\ x_{1/2}& =& 3\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{3^2-7}\\ x_{1/2}& =& 3\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{2}\\ x_1& =& 3+\sqrt{2}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{4,41}\\ x_2& =& 3-\sqrt{2}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,59}\end{array}$

Die Werte $x_1$ und $x_2$ sind die Nullstellen; die Schnittpunkte mit der x-Achse haben die Koordinaten $N_1(\mathrm{4,41}|0)$ und $N_2(\mathrm{1,59}|0)$.

Falls Sie die pq-Formel nicht mehr sicher beherrschen, können Sie sich hier einige Beispiele ansehen.

Beispiel: Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung $f(x)=2(x-3{)}^2-4$. Gesucht sind ihre Nullstellen.

Lösung: Wir setzen $f(x)=0$ und isolieren die Klammer, bevor wir die Wurzel ziehen.

$\begin{array}{rcll}2(x-3{)}^2-4& =& 0& |+4\\ 2(x-3{)}^2& =& 4& |:2\\ (x-3{)}^2& =& 2& |\sqrt{}\\ x-3& =& \pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{2}& |+3\\ x_1& =& +\sqrt{2}+3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{4,41}\\ x_2& =& -\sqrt{2}+3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,59}\end{array}$

Da die Aufgabe nur die Nullstellen verlangte, sind wir an dieser Stelle fertig.

Dies ist nicht der einzige Lösungsweg. Genauso gut können Sie wie oben die Klammer auflösen und die Nullstellen mithilfe der pq-Formel berechnen.

Weitere Beispiele zur Scheitelform:

• Die quadratische Funktion mit der Gleichung $f(x)=-2(x+3{)}^2-4$ hat keine Nullstellen, da der Scheitel unterhalb der x-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist (Rechnung nicht erforderlich). Der Graph liegt vollständig unterhalb der x-Achse.
• Die quadratische Funktion mit der Gleichung $f(x)=\frac{2}{3}(x-5{)}^2$ hat die (doppelte) Nullstelle $x=5$, da der Scheitel auf der x-Achse liegt, also mit dem x-Achsenschnittpunkt übereinstimmt (Rechnung ebenfalls nicht erforderlich).

Weitere Beispiele zur allgemeinen Form:

• Untersuchung auf Nullstellen von $f(x)=x^2-4x+8$:
  $\begin{array}{rcll}{x}^2-4x+8& =& 0& |pq-\text{Formel}\\ x_{1/2}& =& \frac{4}{2}\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{(\frac{4}{2}{)}^2-8}\\ & =& 2\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{-4}\end{array}$
  Die Parabel schneidet die x-Achse nicht, da die Gleichung keine reelle Lösung hat.
• Untersuchung von $f(x)=3x^2+8x+\frac{16}{3}$ auf Nullstellen:
  $\begin{array}{rcll}3x^2+8x+\frac{16}{3}& =& 0& |:3\\ x^2+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}& =& 0& |pq-\text{Formel}\\ x_{1/2}& =& -\frac{4}{3}\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{(\frac{4}{3}{)}^2-\frac{16}{9}}\\ & =& -\frac{4}{3}\pm <!--\; \pm \; -->0\\ x_1& =& -\frac{4}{3}\\ x_2& =& -\frac{4}{3}\end{array}$
  Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei $x=-\frac{4}{3}$. Die Parabel berührt an dieser Stelle die x-Achse.

Wenn das Linearglied oder Absolutglied fehlt ($p=0$ bzw. $q=0$), kann die Gleichung einfacher ohne pq-Formel gelöst werden. Beispiele dazu finden Sie im Artikel über quadratische Gleichungen.

Ergänzung: Neben der Scheitelform und der allgemeinen Form gibt es noch die Nullstellenform der Parabel, an der sich die Nullstellen besonders einfach ablesen lassen.

Formulierungen in Aufgaben

Ist nur nach Nullstellen gefragt, so reicht die Berechnung der x-Werte, für die $f(x)=0$ gilt.

Ist nach den Schnittpunkten mit der x-Achse gefragt, so berechnet man die Nullstellen und gibt dann die Punkte $N_1(x_1|0)$ und $N_2(x_2|0)$ an (sofern es Nullstellen gibt).

Ist nach Achsenschnittpunkten gefragt, so sind nicht nur die Schnittpunkte mit der x-Achse gesucht, sondern zusätzlich der mit der y-Achse. Letzterer wird bei dieser Fragestellung erstaunlich häufig vergessen.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 07.11.2011

Quadratische Funktionen 1: Grundlagen

Beispiele, Erklärungen

• Grundbegriffe
• Normalparabel nach oben/unten verschieben
• Normalparabel nach rechts/links verschieben
• Scheitelform und allgemeine Form der Normalparabel
• Gestreckte Parabeln
• Scheitelform und allgemeine Form der gestreckten Parabel
• Achsenschnittpunkte
• Nullstellengleichung

Aufgaben

• Verschieben von Parabeln in y-Richtung
• Verschieben von Parabeln in x-Richtung
• Normalparabel: Scheitelform und allgemeine Form
• Gestreckte Parabeln
• Allgemeine Form und Scheitelform
• Achsenschnittpunkte
• Nullstellengleichung