Lage eines Punktes auf einer Geraden

Auf dieser Seite lernen Sie verschiedene Aufgabenstellungen kennen, die sich alle um die Frage drehen, wie sich ein Punkt zu einer Geraden verhält.

Punktprobe

Gegeben sei die Gerade mit der Gleichung $f(x)=\frac{1}{3}x+1$. Liegen die Punkte $A(3|2)$, $B(-<!--\; -\; -->2|\mathrm{0,5})$ und $C(32|\frac{34}{3})$ auf der Geraden?

Schauen wir uns die Skizze an:

Wenn die Zeichnung exakt ist (was auf dem Papier nicht immer sichergestellt ist!), müsste A auf der Geraden liegen und B nicht. Da der Punkt C außerhalb des Zeichenbereichs liegt, lässt sich über ihn keine Aussage treffen.

Wir brauchen also ein Rechenverfahren. Wenn der Punkt $A(3|2)$ auf der Geraden liegt, muss er die Gleichung $y=f(x)=\frac{1}{3}x+1$ erfüllen. Für die sogenannte Punktprobe gibt es zwei Methoden, die sich nur geringfügig unterscheiden.

• Man setzt beide Koordinaten in die Gleichung ein und prüft, ob eine wahre Aussage entsteht. Für A:
  $\begin{array}{rcl}2& =& \frac{1}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->3+1\\ 2& =& 1+1\\ 2& =& 2& \text{wahre Aussage}\end{array}$
  Da eine wahre Aussage entstanden ist, liegt A auf der Geraden. Für B erhält man nach der gleichen Methode dagegen die falsche Aussage $\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$. So ist auch rechnerisch nachgewiesen, dass B nicht auf der Geraden liegt. Dies gilt übrigens auch für C. Prüfen Sie dies nach!
• Man setzt nur die x-Koordinate ein und vergleicht mit der gegebenen y-Koordinate.
  Für A: $f(3)=\frac{1}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->3+1=2=y_A\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->$ A liegt auf der Geraden.
  Für B: $f(-<!--\; -\; -->2)=\frac{1}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->2)+1=\frac{1}{3}\ne y_B\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->$ B liegt nicht auf der Geraden.
  Für C: $f(32)=\frac{1}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->32+1=\frac{35}{3}\ne y_C\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->$ C liegt nicht auf der Geraden.

An dieser Stelle eine kleine Anmerkung zu Brüchen: in der Oberstufe lässt man unechte Brüche üblicherweise stehen und verwandelt sie nicht in gemischte Brüche.

Fehlende Koordinate ermitteln

Gelegentlich ist nur eine Koordinate eines Punktes gegeben; zu bestimmen ist die fehlende Koordinate so, dass der Punkt auf einer vorgegebenen Geraden liegt.

x gegeben, y gesucht

Der Punkt $A(22|y)$ soll so bestimmt werden, dass er auf der Geraden mit der Gleichung $f(x)=2x-<!--\; -\; -->3$ liegt. Wenn das der Fall sein soll, muss der Punkt genau wie oben die Gleichung erfüllen:
$y=2\cdot <!--\; \cdot \; -->22-<!--\; -\; -->3=41$. $A$ hat also die Koordinaten $A(22|41)$.

Dies ist nichts anderes als die Rechnung, die Sie bei Erstellung einer Wertetabelle verwenden: Sie setzen die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein.

y gegeben, x gesucht

Der Punkt $B(x|5)$ soll so bestimmt werden, dass er auf der Geraden mit der Gleichung $f(x)=4x+3$ liegt. Nun ist eine Gleichung zu lösen:
$\begin{array}{rcll}5& =& 4x+3& |-<!--\; -\; -->3\\ 2& =& 4x& |:4\\ \mathrm{0,5}& =& x\end{array}$
Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten $B(\mathrm{0,5}|5)$.

In den Übungsaufgaben können Sie Ihr Wissen testen.

Letzte Aktualisierung: 24.06.2011

Lineare Funktionen

Beispiele, Erklärungen

• Grundbegriffe
• Besondere Geraden
• Zeichnen und Ablesen von Geraden
• Lage Punkt-Gerade
• Achsenschnittpunkte
• Gerade aus Punkt und Steigung
• Gerade aus zwei Punkten
• Parallele Geraden
• Orthogonale Geraden
• Gegenseitige Lage zweier Geraden
• Steigungswinkel einer Geraden

Aufgaben

• Zeichnen und Ablesen von Geraden inkl. Sonderfälle
• Lage Punkt-Gerade, Achsenschnittpunkte
• Gleichung aus Punkt und Steigung oder zwei Punkten bestimmen
• Parallele und orthogonale Geraden
• Gegenseitige Lage zweier Geraden
• Steigungswinkel einer Geraden