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Mathematik in der Oberstufe

Geraden in besonderer Lage

Auf dieser Seite geht es um besondere Geraden, die vorwiegend in der Oberstufe erwähnt werden: vor allem Parallelen zu den Koordinatenachsen, aber auch die erste und zweite Winkelhalbierende sowie Ursprungsgeraden. Es wird von Ihnen in den entsprechenden Aufgaben später erwartet, dass Sie die Begriffe kennen und in Gleichungen übersetzen können.

Parallelen zu den Koordinatenachsen

In der Einführung wurde schon gesagt: ist $m=0$, so ist die Gerade parallel zur $x$-Achse. Die Gleichung reduziert sich dann von $y=0\cdot x+b$ auf $y=b$.

So wie die Gerade $y=b$ eine Parallele zur $x$-Achse ist, beschreibt entsprechend die Gleichung $x=a$ eine Parallele zur $y$-Achse. Achtung: diese Gerade beschreibt keine lineare Funktion, denn zu einem $x$-Wert gehören ja mehrere $y$-Werte, und das darf bei einer Funktion nicht sein. Für die Geraden vom Typ $x=a$ existiert also nur die allgemeine Form der Geraden und nicht die Normalform.

In der folgenden Grafik können Sie den Punkt $P$ mit der Maus bewegen und die Gleichungen ablesen. Ziehen Sie den Punkt auch einmal auf die Koordinatenachsen.

Es gilt also:

$y=b$: Parallele zur $x$-Achse; Spezialfall $y=0$: die $x$-Achse
$x=a$: Parallele zur $y$-Achse; Spezialfall $x=0$: die $y$-Achse

Ursprungsgeraden

Wie der Name schon sagt, gehen Ursprungsgeraden durch den Koordinatenursprung $O(0|0)$. Damit gilt für den $y$-Achsenabschnitt $b=0$, und die Gleichung der Geraden reduziert sich auf $y=m\cdot x$.

In der Mittelstufe nennt man die Funktionsvorschrift manchmal Proportionalität, weil man sie aus dem proportionalen Dreisatz herleitet. In der Oberstufe ist dieser Begriff nicht mehr üblich.

Winkelhalbierende

Unter den Ursprungsgeraden gibt es zwei besondere Geraden, nämlich diejenigen, die den Winkel zwischen den Koordinatenachsen halbieren. Die rote Gerade schließt somit einen Winkel von 45° mit der $x$-Achse ein.

Für Punkte auf den Winkelhalbierenden sind entweder $x$- und $y$-Koordinate gleich ($y=x$) oder unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen ($y=-x$). Die beiden Geraden werden wie folgt benannt:

$y=x$: erste Winkelhalbierende
$y=-x$: zweite Winkelhalbierende

Die Steigung der ersten Winkelhalbierenden beträgt $m=1$, die der zweiten $m=-1$.

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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