Mathematik in der Oberstufe

Orthogonale Geraden

Bei orthogonalen Geraden hängen die Steigungen auf bestimmte Weise voneinander ab. Diese Beziehung leiten wir hier her und lösen einige typische Aufgaben.

Bedingung für Orthogonalität

Stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, so kann man sich vorstellen, dass man die ursprüngliche Gerade um 90° auf die neue Gerade dreht. Entsprechend dreht sich das Steigungsdreieck mit.

Ziehen Sie an den roten Punkten, verfolgen Sie die gleich gefärbten Strecken und bestimmen Sie die jeweiligen Steigungen.

Wenn wir von der blauen Geraden ausgehen, so beträgt ihre Steigung m1=ΔyΔx. Bei der dazu orthogonalen Geraden dreht zum einen das Verhältnis von Δx und Δy um. Zum anderen fällt die orthogonale Gerade, wenn die ursprüngliche Gerade steigt (und umgekehrt), sodass sich auch das Vorzeichen umdreht: m2=−ΔxΔy. In Worten kann man also sagen: die Steigung der Orthogonalen ist gleich dem negativen Kehrwert der ursprünglichen Steigung.

Meist wird allerdings das Produkt der beiden Steigungen als Bedingung angegeben. Wenn man m1 mit m2 multipliziert und den Bruch kürzt, erhält man nämlich
m1⋅m2=ΔyΔx⋅−ΔxΔy=1⋅(−1)=−1

Orthogonalitätsbedingung: Zwei Geraden g und h stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ergibt.
In Zeichen: g⊥h⇔m1⋅m2=−1 bzw. m2=−1m1.

Das gilt natürlich nur unter der Voraussetzung, dass die Geraden nicht parallel zu den Koordinatenachsen sind. Wenn Sie die Punkte in der Grafik entsprechend anordnen, sehen Sie, dass die Gleichung der Orthogonalen jeweils sehr einfach ist: ist die Ausgangsgerade von der Form y=b, so ist die zugehörige Orthogonale von der Form x=a (und umgekehrt).

Beispiele für typische Aufgaben

Untersuchung auf Orthogonalität

Beispiel: Untersuchen Sie, ob die Geraden g1:y=−0,8x+1 und g2:y=54x−3 senkrecht aufeinander stehen.

Lösung: Beide Steigungen lassen sich ablesen, sodass wir sofort das Produkt berechnen können:

m1⋅m2=−0,8⋅54=−810⋅54=−1.
Da die Bedingung erfüllt ist, sind die beiden Geraden orthogonal.

Bestimmen orthogonaler Geraden

Beispiel: Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung g:y=0,75x−1. Gesucht ist die Gleichung der Orthogonalen k durch den Punkt P(2|−2).

Lösung: Die Steigung ermitteln wir aus der Bedingung für die Orthogonalität:

0,75⋅m2=−1|:0,75m2=−43

Den Achsenabschnitt b bestimmen wir, indem wir die Steigung m=−43 und den Punkt P(2|−2) in die Punktsteigungsform (oder in die Hauptform) einsetzen:

y=−43⋅(x−2)−2y=−43x+83−2k:y=−43x+23

Beispiel: Gesucht ist die Gleichung der Geraden, die senkrecht auf x=3 steht und durch den Punkt P(−3|2) geht.

Wenn Sie oben in der Grafik die Punkte entsprechend anordnen oder sich eine Skizze machen, sollte die Lösung klar sein. Anschaulich haben wir schon geklärt, dass die Gerade von der Form y=b sein muss. Da der Punkt P die y-Koordinate 2 hat, lautet die Gleichung der Orthogonalen also y=2.

Beispiel: Gesucht ist die Gleichung der Geraden h, die die Gerade g:y=5x+3 an der Stelle x=−1 senkrecht schneidet.

Die Steigung wird wie oben mit der Orthogonalitätsbedingung berechnet. Allerdings benötigen wir noch einen Punkt P, der uns indirekt mit der Formulierung „schneidet g an der Stelle x=−1“ gegeben ist. P ist also ein Punkt auf g, sodass wir die zweite Koordinate durch Einsetzen bestimmen können:
yP=5⋅(−1)+3=−2⇒P(−1|−2)

Anschließend können Sie wie oben vorgehen und sollten h:y=−0,2x−2,2 erhalten.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 30.06.2011