Bei orthogonalen Geraden hängen die Steigungen auf bestimmte Weise voneinander ab. Diese Beziehung leiten wir hier her und lösen einige typische Aufgaben.
Stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, so kann man sich vorstellen, dass man die ursprüngliche Gerade um 90° auf die neue Gerade dreht. Entsprechend dreht sich das Steigungsdreieck mit.
Ziehen Sie an den roten Punkten, verfolgen Sie die gleich gefärbten Strecken und bestimmen Sie die jeweiligen Steigungen.
Wenn wir von der blauen Geraden ausgehen, so beträgt ihre Steigung $m_1=\dfrac{\color{#2b2}{\Delta y}}{\color{#a61}{\Delta x}}$ (zur Bezeichnung $\Delta x$ siehe hier). Bei der dazu orthogonalen Geraden dreht zum einen das Verhältnis von $\Delta x$ und $\Delta y$ um. Zum anderen fällt die orthogonale Gerade, wenn die ursprüngliche Gerade steigt (und umgekehrt), sodass sich auch das Vorzeichen umdreht: $m_2=-\dfrac{\color{#a61}{\Delta x}}{\color{#2b2}{\Delta y}}$. In Worten kann man also sagen: die Steigung der Orthogonalen ist gleich dem negativen Kehrwert der ursprünglichen Steigung.
Meist wird allerdings das Produkt der beiden Steigungen als Bedingung angegeben. Wenn man $m_1$ mit $m_2$ multipliziert und den Bruch kürzt, erhält man nämlich
$m_1 \cdot m_2=\dfrac{\color{#2b2}{\Delta y}}{\color{#a61}{\Delta x}}\cdot \left(-\dfrac{\color{#a61}{\Delta x}}{\color{#2b2}{\Delta y}} \right)=1\cdot (-1)=-1$
Orthogonalitätsbedingung: Zwei Geraden $g$ und $h$ stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ergibt.
In Zeichen: $g\perp h \; \Leftrightarrow \; m_1\cdot m_2=-1 \text{ bzw. } m_2=-\dfrac{1}{m_1}$.
Das gilt natürlich nur unter der Voraussetzung, dass die Geraden nicht parallel zu den Koordinatenachsen sind. Wenn Sie die Punkte in der Grafik entsprechend anordnen, sehen Sie, dass die Gleichung der Orthogonalen jeweils sehr einfach ist: ist die Ausgangsgerade von der Form $y=b$, so ist die zugehörige Orthogonale von der Form $x=a$ (und umgekehrt).
Beispiel 1: Untersuchen Sie, ob die Geraden $g_1(x)=-0{,}8x+1$ und $g_2(x)=\frac{5}{4}x-3$ senkrecht aufeinander stehen.
Lösung: Beide Steigungen lassen sich ablesen, sodass wir sofort das Produkt berechnen können:
$m_1\cdot m_2=-0{,}8\cdot \frac{5}{4}=-\frac{8}{10}\cdot \frac{5}{4}=-1$.
Da die Bedingung erfüllt ist, sind die beiden Geraden orthogonal.
Beispiel 2: Gegeben ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $g(x)=0{,}75x-1$. Gesucht ist die Gleichung der Orthogonalen $k$ durch den Punkt $P(2|-2)$.
Lösung: Die Steigung ermitteln wir aus der Bedingung für die Orthogonalität:
$\begin{align*}0{,}75\cdot m_2&=-1 &|:0{,}75\\ m_2&=-\tfrac{4}{3}\end{align*}$
Den Achsenabschnitt $b$ bestimmen wir, indem wir die Steigung $m=\color{#a61}{-\frac{4}{3}}$ und den Punkt $P(\color{#f00}{2}|\color{#2b2}{-2})$ in die Normalform $y=mx+b$ (oder in die Punktsteigungsform $y=m(x-x_1)+y_1$) einsetzen:
$\begin{align*}\color{#2b2}{-2}&=\color{#a61}{-\tfrac{4}{3}}\cdot \color{#f00}{2}+b\\ -2&=-\tfrac{8}{3}+b&&\quad |+\tfrac 83\\ \tfrac 23&=b\\ k(x)&=-\tfrac{4}{3}x+\tfrac{2}{3}\end{align*}$
Beispiel 3: Gesucht ist die Gleichung der Geraden, die senkrecht auf $x=3$ steht und durch den Punkt $P(-3|2)$ geht.
Lösung: Wenn Sie oben in der Grafik die Punkte entsprechend anordnen oder sich eine Skizze machen, sollte die Lösung klar sein. Anschaulich haben wir schon geklärt, dass die Gerade von der Form $y=b$ sein muss. Da der Punkt $P$ die $y$-Koordinate $2$ hat, lautet die Gleichung der Orthogonalen also $y=2$.
Beispiel 4: Gesucht ist die Gleichung der Geraden $h$, die die Gerade $g(x)=5x+3$ an der Stelle $x=-1$ senkrecht schneidet.
Lösung: Die Steigung wird wie oben mit der Orthogonalitätsbedingung berechnet. Allerdings benötigen wir noch einen Punkt $P$, der uns indirekt mit der Formulierung „schneidet $g$ an der Stelle $x=-1$“ gegeben ist. $P$ ist also ein Punkt auf $g$, sodass wir die zweite Koordinate durch Einsetzen bestimmen können:
$y_P=5\cdot (-1)+3=-2 \; \Rightarrow \; P(-1|-2)$
Anschließend können Sie wie oben vorgehen und sollten $h(x)=-0{,}2x-2{,}2$ erhalten.
Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina de Brabandt
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