Eine Normale ist eine Gerade, die in einem Kurvenpunkt senkrecht auf dem Graphen der Funktion bzw. senkrecht auf der zugehörigen Tangente steht.
Zwei Geraden sind orthogonal zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ergibt: $m_1\cdot m_2= -1 \Leftrightarrow m_2=-\dfrac{1}{m_1}$. Anders formuliert: die Steigung der Orthogonalen ist gleich dem negativen Kehrwert der ursprünglichen Steigung.
Das gilt natürlich entsprechend für die Tangente und die Normale: $m_n=-\dfrac{1}{m_t}$. Wenn die Normale an der Stelle $x=x_0$ gesucht ist, geht man daher wie folgt vor:
Berechne die Normalengleichung durch Einsetzen in $y=mx+b$ oder $y=m_n(x-x_0)+y_0$
Es gibt auch eine „fertige“ Normalengleichung $n(x)=-\dfrac{1}{f'(x_0)} (x-x_0)+f(x_0)$, die sämtliche Rechenschritte in eine Gleichung zusammenfasst. Der Übersichtlichkeit halber ist es jedoch besser, die drei Schritte getrennt durchzuführen, wobei Sie die ersten beiden Schritte vertauschen können.
Beispiel 1
Gesucht ist die Gleichung der Normale an den Graphen von $f(x)=x^3+3x^2+x$ an der Stelle $x=\color{#f00}{2}$.
Berechnen der Normalengleichung mit $y=mx+b$:
$\begin{align*}y&=m\cdot x+b\\ \color{#1a1}{22}&=\color{#a61}{-0{,}04}\cdot \color{#f00}{2}+b\\ 22&=-0{,}08+b&&|+ 0{,}08\\
22{,}08&=b\\ n(x)&=-0{,}04x+22{,}08\end{align*}$
Berechnen der Normalengleichung mit $y=m_n(x-x_0)+y_0$:
$\begin{align*}y&=m\cdot (x-x_0)+y_0\\ y&=\color{#a61}{-0{,}04}\cdot (x-\color{#f00}{2})+\color{#1a1}{22}\\ y&=-0{,}04x+0{,}08+22\\ n(x)&=-0{,}04x+22{,}08 \end{align*}$
Im letzten Schritt erfolgt jeweils die Umbenennung von $y$ in $n(x)$ – ein üblicher Name für Normalengleichungen.
Natürlich ist es egal, welchen der beiden Lösungswege Sie wählen. Die erste Variante ist aus der Mittelstufe gut bekannt und wird daher meist bevorzugt; die zweite Variante ist jedoch schneller.
Beispiel 2
Gesucht ist die Gleichung der Normale an den Graphen von $f(x)=0{,}5x^3+3x^2+4{,}5x$ an der Stelle $x=\color{#f00}{-1}$.
$f'(x)=1{,}5x^2+6x+4{,}5$
$m_t=f'(\color{#f00}{-1})= 1{,}5\cdot (\color{#f00}{-1})^2+6\cdot (\color{#f00}{-1})+4{,}5 =0$
Der Kehrwert von 0 existiert nicht!
Das Berechnungsverfahren hilft hier zwar nicht weiter, aber die Anschauung. Die Tangente hat die Steigung 0, ist also waagerecht und hat somit die Gleichung $y=\color{#1a1}{-2}$ (die $y$-Koordinate des Punktes). Eine dazu senkrechte Gerade hat immer die Gleichung $x=\text{Zahl}$, in diesem Fall also $x=\color{#f00}{-1}$ (die $x$-Koordinate des Punktes). In der Form $n(x)=…$ kann man die Gerade nicht angeben, da es sich nicht um eine Funktion handelt. Man kann ihr nur den Namen $n$ geben, also $n\colon x=-1$.
Wendenormale
Die Wendenormale ist die Normale im Wendepunkt. Ist also nach der Wendenormale gefragt, muss man erst den Wendepunkt berechnen (oft ist er allerdings schon aus einer vorangegangenen Kurvendiskussion bekannt) und dann wie oben vorgehen.
Als Beispiel berechnen wir die Wendenormale für den Graphen von $f(x)=0{,}5x^3+3x^2+4{,}5x$.