Mathematik in der Oberstufe

Normale und Wendenormale – Basiswissen

Eine Normale ist eine Gerade, die in einem Kurvenpunkt senkrecht auf dem Graphen der Funktion bzw. senkrecht auf der zugehörigen Tangente steht.

Normale und Wendenormale

Zwei Geraden sind orthogonal zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ergibt: m1 · m2 = −1 ⇔ m2 = −1/m1. Anders formuliert: die Steigung der Orthogonalen ist gleich dem negativen Kehrwert der ursprünglichen Steigung.

Das gilt natürlich entsprechend für die Tangente und die Normale: mn = −1/mt. Wenn die Normale an der Stelle x = x0 gesucht ist, geht man daher wie folgt vor:

Ermitteln einer Normalengleichung

  1. Berechne y0 = f(x0)
  2. Berechne mt = f′(x0) ⇒ mn = −1/mt
  3. Berechne die Tangentengleichung durch Einsetzen in y = mx+b oder y − y0 = mn(x − x0)

Beispiel 1

Gesucht ist die Gleichung der Normale an den Graphen von f(x) = x3 + 3x2 + x an der Stelle x = 2.

Lösung

  1. y0 = f(2) = 23 + 3·22 + 2 = 22
  2. f′(x) = 3x2 + 6x + 1 ⇒ mt = f′(2)= 3·22 + 6·2 + 1 = 25 ⇒ mn = −1/25 = −0,04
  3. Berechnen der Normalengleichung mit y = mx + b: 
        y =    m·x  + b
   22 = −0,04·2 + b
   22 =  −0,08  + b   | + 0,08
22,08 = b
 n(x) = −0,04x + 22,08
    Berechnen der Normalengleichung mit y − y0 = mn(x − x0):
    y − y0 =  mn(x − x0)
y − 22 = −0,04(x − 2)
y − 22 = −0,04x + 0,08    | + 22
  n(x) = −0,04x + 22,08
    Im letzten Schritt erfolgt jeweils die Umbenennung von y in n(x) – ein üblicher Name für Normalengleichungen.
    Natürlich ist es egal, welchen der beiden Lösungswege Sie wählen. Die erste Variante ist aus der Mittelstufe gut bekannt und wird daher meist bevorzugt; die zweite Variante ist jedoch schneller.

Beispiel 2

Gesucht ist die Gleichung der Normale an den Graphen von f(x) = 0,5x3 + 3x2 + 4,5x an der Stelle x = −1.

Lösung

  1. y0 = f(−1) = 0,5·(−1)3 + 3·(−1)2 + 4,5·(−1) = −2
  2. f′(x) = 1,5x2 + 6x + 4,5 ⇒ mt = f′(−1)= 1,5·(−1)2 + 6·(−1) + 4,5 = 0
    Der Kehrwert von 0 existiert nicht!
  3. Sonderfall Normale bei waagerechter Tangente Das Berechnungsverfahren hilft hier zwar nicht weiter, aber die Anschauung. Die Tangente hat die Steigung 0, ist also waagerecht und hat somit die Gleichung y = −2 (die y-Koordinate des Punktes). Eine dazu senkrechte Gerade hat immer die Gleichung x = Zahl, in diesem Fall also x = −1 (die x-Koordinate des Punktes). In der Form n(x) = … kann man die Gerade nicht angeben, da es sich nicht um eine Funktion handelt. Man kann ihr nur den Namen n geben, also n: x = −1.

Wendenormale

Die Wendenormale ist die Normale im Wendepunkt. Ist also nach der Wendenormale gefragt, muss man erst den Wendepunkt berechnen (oft ist er allerdings schon aus einer vorangegangenen Kurvendiskussion bekannt) und dann wie oben vorgehen.

Als Beispiel berechnen wir die Wendenormale für den Graphen von f(x) = 0,5x3 + 3x2 + 4,5x.

Ableitungen: f′(x) = 1,5x2 + 6x + 4,5; f′′(x) = 3x + 6; f′′′(x) = 3

Notwendige Bedingung: f′′(x) = 0 ⇒ x = −2
Hinreichende Bedingung: f′′′(−2) = 3 ≠ 0 ⇒ Wendestelle bei x = −2
y-Wert: f(−2) = 0,5·(−2)3 + 3·(−2)2 + 4,5·(−2) = −1 ⇒ W(−2|−1)
Steigung im Wendepunkt:
mt = f′(−2)= 1,5·(−2)2 + 6·(−2) + 4,5 = −1,5 ⇒ mn = −1/(−1,5) = 2/3

Führt man das weitere Rechenverfahren wie im ersten Beispiel durch, so erhält man als Normalengleichung nw(x) = 2/3x + 1/3.

Letzte Aktualisierung: 14.05.2010

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