Mathematik in der Oberstufe

Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Lösungen

Ich verwende die üblichen Abkürzungen, also Sy für den Schnittpunkt mit der y-Achse, N für Nullstelle, H/T für Hoch- und Tiefpunkte, W für Wendepunkt und S für Sattelpunkt.

  1. Graph von f(x)=-x^3/20+15x f(x) = −1/20·x3 + 15x
    f′(x) = −3/20x2 + 15
    f′′(x) = −3/10x
    f′′′(x) = −3/10
    Punktsymmetrie zum Ursprung, da alle Exponenten ungerade
    x → −∞ ⇒ f(x) → +∞
    x → +∞ ⇒ f(x) → −∞
    Sy(0|0)
    N1(0|0); N2(17,32|0); N3(−17,32|0)
    H(10|100); T(−10|−100)
    W(0|0)
  2. Graph von f(x)=x^3/9-x^2/6-2x f(x) = 1/9x3 − 1/6x2 − 2x
    f′(x) = 1/3x2 −1/3x − 2
    f′′(x) = 2/3x − 1/3
    f′′′(x) = 2/3
    keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
    x → −∞ ⇒ f(x) → −∞
    x → +∞ ⇒ f(x) → +∞
    Sy(0|0)
    N1(0|0); N2(5,06|0); N3(−3,56|0)
    T(3|−4,5); H(−2|22/9)
    W(0,5|−37/36)
  3. Graph von f(x)=1,5x^4+x^3-9x^2 f(x) = 1,5x4 + x3 − 9x2
    f′(x) = 6x3 + 3x2 − 18x
    f′′(x) = 18x2 + 6x − 9
    f′′′(x) = 36x + 6
    keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
    x → −∞ ⇒ f(x) → +∞
    x → +∞ ⇒ f(x) → +∞
    Sy(0|0)
    N1,2(0|0); N3(2,14|0); N4(−2,81|0)
    H(0|0); T1(1,5|−9,28); T2(−2|−20)
    W1(0,85|−5,08); W2(−1,18|−11,27)
  4. Graph von f(x)=x^3-6x^2+9x f(x) = x3 − 6x2 + 9x
    f′(x) = 3x2 − 12x + 9
    f′′(x) = 6x − 12
    f′′′(x) = 6
    keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
    x → −∞ ⇒ f(x) → −∞
    x → +∞ ⇒ f(x) → +∞
    Sy(0|0)
    N1(0|0); N2,3(3|0)
    H(1|4); T(3|0)
    W(2|2)
  5. Graph von f(x)=-x^4/20+1,2x^2-4 f(x) = −1/20x4 + 6/5x2 − 4
    f′(x) = −1/5x3 + 12/5x
    f′′(x) = −3/5x2 + 12/5
    f′′′(x) = −6/5x
    Achsensymmetrie zur y-Achse, da nur gerade Exponenten vorhanden
    x → −∞ ⇒ f(x) → −∞
    x → +∞ ⇒ f(x) → −∞
    Sy(0|−4)
    N1(2|0); N2(−2|0); N3(4,47|0); N4(−4,47|0)
    T(0|−4); H1(3,46|3,2); H2(−3,46|3,2)
    W1(2|0); W2(−2|0)
  6. Graph von f(x)=-1/36(3x^5-50x^3+135x) f(x) = −1/36·(3x5 − 50x3 + 135x)
    f′(x) = −1/36·(15x4 − 150x2 + 135)
    f′′(x) = −1/36·(60x3 − 300x)
    f′′′(x) = −1/36·(180x2 − 300)
    Punktsymmetrie zum Ursprung, da nur ungerade Exponenten vorhanden
    x → −∞ ⇒ f(x) → +∞
    x → +∞ ⇒ f(x) → −∞
    Sy(0|0)
    N1(0|0); N2(3,64|0); N3(−3,64|0); N4(1,84|0); N5(−1,84|0)
    T1(−3|−6); H1(3|6); H2(−1|22/9); T2(1|−22/9)
    W1(0|0); W2(2,24|−2,48); W3(−2,24|2,48)
  7. Graph von f(x)=x^3+4x^2-11x-30 f(x) = x3 + 4x2 − 11x − 30
    f′(x) = 3x2 + 8x − 11
    f′′(x) = 6x + 8
    f′′′(x) = 6
    keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
    x → −∞ ⇒ f(x) → −∞
    x → +∞ ⇒ f(x) → +∞
    Sy(0|−30)
    N1(3|0); N2(−2|0); N3(−5|0)
    T(1|−36); H(−11/3|400/27)
    W(−4/3|−286/27)
  8. Graph von f(x)=x^5/9-20x^4/27+10x^3/9 f(x) = 1/9x5 − 20/27x4 + 10/9x3
    f′(x) = 5/9x4 − 80/27x3 + 10/3x2
    f′′(x) = 20/9x3 − 80/9x2 + 20/3x
    f′′′(x) = 20/3x2 − 160/9x + 20/3
    keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
    x → −∞ ⇒ f(x) → −∞
    x → +∞ ⇒ f(x) → +∞
    Sy(0|0)
    N1,2,3(0|0); N4(4,39|0); N5(2,28|0)
    T(3,72|−5,50); H(1,61|0,86)
    W1(1|0,48); W2(3|−3); S(0|0)
  9. Graph von f(x)=x^4+x^3-11x^2+20 f(x) = x4 + x3 − 11x2 + 20
    f′(x) = 4x3 + 3x2 − 11x
    f′′(x) = 12x2 + 6x − 11
    f′′′(x) = 24x + 6
    keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
    x → −∞ ⇒ f(x) → +∞
    x → +∞ ⇒ f(x) → +∞
    Sy(0|20)
    N1,2(2|0); N3(−1,38|0); N4(−3,61|0)
    H(0|20); T1(2|0); T2(−2,75|−26,79)
    W1(1,13|9,07); W2(−1,63|−6,42)
  10. Graph von f(x)=1/32(5x^4-x^5) f(x) = 1/32·(5x4 − x5)
    f′(x) = 1/32·(20x3 − 5x4)
    f′′(x) = 1/32·(60x2 − 20x3)
    f′′′(x) = 1/32·(120x − 60x2)
    keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
    x → −∞ ⇒ f(x) → +∞
    x → +∞ ⇒ f(x) → −∞
    Sy(0|0)
    N1,2,3,4(0|0); N5(5|0)
    T(0|0); H(4|8)
    W(3|5,06)
    Den Tiefpunkt weist man am besten mit dem Vorzeichenwechselkriterium nach. Da kritische Werte für Extrema bei x = 0 und x = 4 liegen, kann man als Testwerte −1 und 1 verwenden:
    f′(−1) = −25/32 < 0; f′(1) = 15/32 > 0
    Da ein VZW von − nach + stattfindet, liegt bei x = 0 eine Tiefstelle vor.

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Letzte Aktualisierung: 13.05.2010

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