Mathematik in der Oberstufe

Additionsverfahren (Wiederholung)

Auf dieser Seite werden lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten betrachtet. Dieser Text ist keine Einführung für die Mittelstufe, sondern soll das Wichtige für die Oberstufe zusammenfassen. Am Schluss wird kurz das Subtraktionsverfahren behandelt.

Einfaches Beispiel

Veranschaulichung des AdditionsverfahrensGegeben sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

I4x+3y=−4II5x−3y=22

Wie die Grafik mit der Waage verdeutlicht, kann man seitenweise addieren. Wegen 3y−3y=0 fällt y heraus, und wir erhalten eine Gleichung, die nur noch die Variable x enthält.

I4x+3y=−4II5x−3y=22I+II9x=18|:9x=2

Die andere Variable bekommen wir, indem wir x in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Wir wählen Gleichung I und rechnen nebenher 4·2 = 8 aus, um Schreibarbeit zu sparen:

x in I:4⋅2+3y=−4|−83y=−12|:3y=−4

Das Zahlenpaar (2|−4) ist also einzige Lösung des Gleichungssystems.

Im obigen Beispiel ist durch die Addition eine Variable verschwunden. Nicht immer ist die Ausgangslage so bequem, und die nächsten Beispiele zeigen, wie man damit umgeht.

Weitere Beispiele

Einfache Zahlen

Gegeben ist das Gleichungssystem

I3x+20y=4II−2x+5y=−21

Wenn wir sofort addieren würden, würde weder x noch y herausfallen, und wir könnten keine Variable berechnen. Wir können aber die Gleichungen geeignet multiplizieren, damit eine Unbekannte herausfällt. Dabei haben wir die Wahl:

  • Wenn wir y eliminieren (hinauswerfen) wollen, multiplizieren wir die zweite Gleichung mit −4. Dann bekämen wir beim Addieren 20y−20y=0 und könnten x berechnen.
  • Wenn wir x eliminieren wollen, ist es sinnvoll, beide Gleichungen geeignet zu multiplizieren. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6, sodass beide Koeffizienten (Beizahlen) auf 6 gebracht werden sollten. Da die Vorzeichen bereits verschieden sind, multiplizieren wir die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3. Dann bekämen wir beim Addieren 6x−6x=0 und könnten y berechnen.
    Es ist auch möglich, nur die untere Gleichung zu multiplizieren, und zwar mit 1,5. Dann bekommt man allerdings unbequeme Kommazahlen.

In beiden Fällen ermitteln wir die zweite Variable anschließend durch Einsetzen.

Im folgenden rechnen wir die zweite Variante durch:

I3x+20y=4|⋅2II−2x+5y=−21|⋅3Ia6x+40y=8IIa−6x+15y=−63Ia+IIa55y=−55|:55y=−1

Der Index a bei Ia soll verdeutlichen, dass die ursprüngliche Gleichung verändert wurde. Je nach Buch/Lehrer sind auch andere Bezeichnungen möglich.

Wir setzen y=−1 in II ein und berechnen nebenher wieder 5·(−1) = −5:

y in II:−2x+5⋅(−1)=−21|+5−2x=−16|:(−2)x=8

Die Lösung ist also (8|−1).

Große Zahlen

Bei größeren Zahlen ist das kleinste gemeinsame Vielfache oft nicht mehr auf Anhieb zu erkennen:

I36x+57y=30II47x−76y=−21

Ein geübter Kopfrechner sieht zwar eine gute Möglichkeit, aber auch ein schlechter Kopfrechner muss nicht verzagen und kann eine der folgenden Methoden anwenden.

  • Man multipliziert sofort „über Kreuz“. Wenn man y eliminieren möchte, multipliziert man I mit 76 und II mit 57. Wenn man x eliminieren möchte, sollte man noch für verschiedene Vorzeichen sorgen und multipliziert I mit 47 und II mit −36 oder I mit −47 und II mit 36.
    Auf diese Weise entstehen recht große Zahlen.
  • Man prüft, ob die Koeffizienten einen gemeinsamen Faktor haben. Dabei hilft ein kleiner Taschenrechnertrick: geben Sie die Quotienten als Brüche ein – die meisten Taschenrechner geben den Bruch gekürzt aus.
    Für x hieße das 36/47=3647. Es gibt keinen gemeinsamen Faktor, und man würde wie oben multiplizieren.
    Für y bekommt man 57/76=34. Es gibt einen gemeinsamen Faktor, und man würde jetzt mit den gekürzten Werten über Kreuz multiplizieren, also I mit 4 und II mit 3. Das sind übrigens die Werte, die der geübte Kopfrechner sieht (57 = 19·3; 76 = 19·4).

Die letzte Variante führe ich hier vor – probieren Sie ruhig einmal eine andere Variante aus.

I⋅4=Ia144x+228y=120II⋅3=IIa141x−228y=−63Ia+IIa285x=57|:285x=15x in I36⋅15+57y=30|−36557y=1145|:57y=25

Brüche

Eins vorweg: wenn Sie Terme wie x2 finden, schreiben Sie sie am besten erst in der Form 12x. Die meisten Schüler kommen mit dieser Schreibweise besser zurecht.

Wir schauen uns das folgende System an:

I13x−25y=12II12x+13y=16

Auch hier gibt es im Wesentlichen zwei Methoden:

  • Sie multiplizieren sofort über Kreuz wie oben und achten darauf, verschiedene Vorzeichen zu erzeugen.
  • Sie beseitigen zunächst die Brüche, indem Sie die Gleichungen mit ihrem jeweiligen Hauptnenner multiplizieren, also I mit 30 und II mit 6. Erst dann schauen Sie, wie Sie multiplizieren müssen, um bis auf das Vorzeichen gleiche Koeffizienten zu erzeugen.

Da das Prinzip nunmehr klar sein sollte, führe ich die Rechnung nicht aus. Falls Sie weiterrechnen möchten: die Lösung ist 34|−58.

Das Subtraktionsverfahren

Bisher haben wir darauf geachtet, beim Multiplizieren verschiedene Vorzeichen zu erzeugen, sodass sich die Terme zu einer Variablen beim Addieren aufheben. Im folgenden Beispiel ist es jedoch sinnvoll, die Gleichungen zu subtrahieren:

I4m+b=5II−2m+b=2I−II6m=3|:6m=0,5m in I4⋅0,5+b=5|−2b=3

Erfahrungsgemäß kommt es beim Subtrahieren zweier Gleichungen häufig zu Vorzeichenfehlern (haben Sie an 4−(−2) = 6 gedacht?), sodass ich diese Methode nur dann empfehle, wenn sie deutlich schneller geht. Das ist oben der Fall, weil eine Variable sofort verschwindet.

Wenn Sie allerdings sowieso multiplizieren müssen, um gleich große Beizahlen zu erzeugen, sollten Sie auch gleich für verschiedene Vorzeichen sorgen. Das verringert die Fehlerquote erheblich.

In der Oberstufe sind Systeme wie oben gar nicht so selten. Typischerweise kommen sie beim Bestimmen von Funktionen vor.

Keine oder unendlich viele Lösungen; anschauliche Deutung

Wie beim Gleichsetzungsverfahren kann auch hier eine wahre oder falsche Aussage entstehen, die entsprechend zu deuten ist. Die Folgerung und die anschauliche Interpretation können Sie dort nachlesen.

Übungsaufgaben (Additionsverfahren und vermischte Aufgaben)

Letzte Aktualisierung: 09.07.2011