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Mathematik in der Oberstufe

Extremwertaufgaben im Koordinatensystem: zwei Graphen

  1. Gegeben sind die Funktionen $f(x)=-0{,}2x^3+x^2$ und $g(x)=-0{,}5x^2+2{,}4x+1{,}6$ (Abb. 1). Die Gerade $x=u$ mit $u \in [-0{,}5;4]$ schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g$ im Punkt $Q$.
    Berechnen Sie den Wert von $u$ so, dass die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ maximal ist.
    Geben Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$ an, und berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{PQ}$.
    Extremwertaufgeben 1 und 2: Strecke und Rechteck zwischen Graphen
  2. Gegeben sind die Funktionen $f(x)=\frac 13 x^2-2$ und $g(x)=4-\frac 16x^2$. Diesen Parabeln wird ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben (Abb. 2). Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte so, dass das Rechteck einen maximalen Flächeninhalt besitzt.
  3. Gegeben sind die Parabeln $f(x)=0{,}5x^2-3x+1$ und $g(x)=0{,}1x^2-x+1$.
    1. Skizzieren Sie die Parabeln im Bereich $0 \leq x \leq 6$ in ein Koordinatensystem.
    2. Die Gerade $x=u$ mit $u \in [0; 5]$ schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g$ im Punkt $Q$. Diese Punkte bilden mit dem Ursprung $O(0|0)$ ein Dreieck.
      Berechnen Sie den Wert von $u$, für den die Fläche des Dreiecks maximal ist.
      Geben Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$ an, und berechnen Sie den Inhalt der Fläche.

Lösungen

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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