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Mathematik in der Oberstufe

Potenzregel, Faktorregel, Summenregel (einzeln)

Hier geht es um die einfachsten Ableitungsregeln, die man später oft gar nicht mehr als eigenständige Regeln wahrnimmt, sondern fast schon automatisch anwendet. Beweise finden Sie hier nicht, sondern Beispiele zur Anwendung sowie die häufigsten Fehlerquellen und Missverständnisse.

Potenzregel

$f(x)=x^n\; \Rightarrow\; f'(x)=n\cdot x^{n-1}$

In Worten: eine Potenzfunktion wird abgeleitet (differenziert), indem man den Exponenten um eins verringert und die Potenz mit der alten Hochzahl multipliziert.

Die Regel selbst ist sehr einfach. Schwierigkeiten entstehen eher dann, wenn der Funktionsterm erst umgeformt werden muss, bevor man die Regel anwenden kann.

Beispiele

  1. $f(x)=x^4$
    Hier gibt es keinen Zweifel: $f'(x)=4\cdot x^{4-1}=4x^3$
    Die Regel gilt für alle Exponenten, also auch für negative, gebrochene und sogar irrationale Exponenten. Einschränkungen bedeutet das allenfalls für den Definitionsbereich der Funktion, den wir an dieser Stelle aber nicht untersuchen werden.
  2. $f(x)=x^{2n}$
    Dieser Aufgabentyp wird Ihnen nur anfangs begegnen; es handelt sich um eine rein technische Übung.
    $f'(x)=2n\cdot x^{2n-1}$
    Verkürzen des Exponenten ist nicht möglich! Ähnliche Aufgabe:
    $f(x)=x^{2n-3}\Rightarrow f'(x)=(2n-3)x^{2n-4}$
  3. $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$
    Damit wir die Potenzregel anwenden können, formen wir den Funktionsterm mithilfe von $\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$ um und leiten dann ab:
    $\begin{align*}f(x)&\,=x^{-2}\\ f'(x)&\,=-2\cdot x^{-2-1}=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}\end{align*}$
  4. $f(x)=\sqrt[3]{x^7}$
    In diesem Fall formen wir mithilfe von $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac nm}$ um:
    $\begin{align*}f(x)&\,=x^{\frac 73}\\ f'(x)&\,=\tfrac 73\cdot x^{\frac 73-1}=\tfrac 73x^{\frac 43}=\tfrac 73\sqrt[3]{x^4}\end{align*}$
  5. $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt x}$
    Nun werden beide Umformungsregeln kombiniert, wobei an $\sqrt x=\sqrt[2]{x^1}$ zu denken ist:
    $\begin{align*}f(x)&=\dfrac{1}{x^{\frac 12}}=x^{-\frac 12}\\ f'(x)&=-\tfrac 12x^{-\frac 12-1}=-\tfrac 12x^{-\frac 32}=-\dfrac{1}{2\sqrt{x^3}}\end{align*}$

Faktorregel

Ist $a$ eine reelle Zahl, also unabhängig von der Variablen, so gilt:
$f(x)=a\cdot g(x)\; \Rightarrow\; f'(x)=a\cdot g'(x)$

In Worten: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.

Zur Bezeichnung: Gelegentlich findet sich auch die Bezeichnung „Konstantenregel“ für die obige Regel. In den drei wichtigsten Schulbüchern wird die Regel jedoch Faktorregel genannt und der Begriff Konstantenregel, wenn überhaupt, für eine andere Regel verwendet (s. weiter unten).

Beispiele

  1. $f(x)=8\cdot x^4$
    Die Ableitungsfunktion von $x^4$ ist $4x^3$. Also gilt:
    $f'(x)=8\cdot 4x^3=32x^3$
    Für Potenzfunktionen ergibt sich, dass der Faktor mit der alten Hochzahl multipliziert werden muss. Im Normalfall notiert man kein Zwischenergebnis, sondern sofort das Endergebnis.
  2. $f(x)=5x$
    Wegen $5x=5x^1$ gilt entsprechend:
    $f'(x)=5\cdot 1x^{1-1}=5x^0=5\cdot 1=5$
    Die gern verwendete Merkregel „$x$ fällt beim Ableiten weg“ birgt eine Falle, auf die ich weiter unten bei den typischen Fehlerquellen noch eingehen werde.
  3. $f(x)=\dfrac{5}{8x^2}$
    Die Potenz – und nur die Potenz, nicht der zugehörige Faktor – wird mit negativem Exponenten geschrieben: $f(x)=\frac 58\cdot \dfrac{1}{x^2}=\frac 58x^{-2}$
    Die Ableitungsfunktion lautet damit:
    $f'(x)=\frac 58\cdot (-2)\cdot x^{-2-1}=-\frac 54x^{-3}=-\dfrac{5}{4x^3}$

Summenregel

$f(x)=g(x)+h(x)$ $\Rightarrow$ $f'(x)=g'(x)+h'(x)$

In Worten: Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden für sich ableitet und die Ableitungen addiert.

Beispiele

  1. $f(x)=x^4+x^{-2}$
    Die Ableitungsfunktion von $x^4$ ist $4x^3$, diejenige von $x^{-2}$ ist $-2x^{-3}$. Also gilt:
    $f'(x)=4x^3-2x^{-3}$
  2. $f(x)=x^2+\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^3}$
    Natürlich gilt die Regel auch für mehr als zwei Summanden, und mit den üblichen Umformungen bekommt man:
    $\begin{align*}f(x)&\,=x^2+x^{\frac 12}+x^{-3}\\f'(x)&\,=2x+\tfrac 12x^{-\frac 12}-3x^{-4}\end{align*}$
    Einige Lehrer möchten das Ergebnis mit Brüchen und Wurzeln sehen:
    $f'(x)=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{3}{x^4}$

Konstantenregel

$f(x)=c =$ konstant $\Rightarrow \; f'(x)=0$

Beispiel: $f(x)=2\;\Rightarrow\; f'(x)=0$

Häufige Fehler

  • Die Ableitung von $f(x)=x$
    Solange die Funktion nur $f(x)=x$ heißt, denkt noch jeder daran, dass die Ableitung $f'(x)=1$ ist. Sobald der Term in einer Summe steht, wird es oft vergessen. Beispiel:
    $f(x)=x^3+x^2+x$
    Mit der beliebten Merkregel „$x$ fällt beim Ableiten weg“ verschwindet das $x$ bei einigen Schülern fälschlicherweise. Natürlich heißt die Ableitung wegen $x=1\cdot x$ in diesem Fall
    $f'(x)=3x^2+2x\color{#f00}{+1}$
    Genauso gilt
    $f(x)=x^5+x^3-x$ $\Rightarrow\, f'(x)=5x^4+3x^2\color{#f00}{-1}$
  • Fehlerhaftes Umformen von Brüchen mit Faktoren am Beispiel $f(x)=\dfrac{1}{3x}$
    Wie in einem früheren Beispiel formt man zu $f(x)=\frac 13\cdot \dfrac{1}{x}=\frac 13x^{-1}$ um. Einige Schüler wollen auch den Faktor mit nach oben nehmen, denken aber nicht daran, dass in diesem Fall Klammern zu setzen sind:
    $f(x)=\dfrac{1}{3x}=(3x)^{-1}=3^{-1}\cdot x^{-1}$
    Das ist natürlich viel zu umständlich, und man sollte wie oben beschrieben ausschließlich die Potenz in den Zähler ziehen.
  • Verwechslung von Faktor- und Konstantenregel
    Eine weitere beliebte, aber ebenfalls zu Fehlern führende Merkregel ist „eine Zahl fällt beim Ableiten weg“. Man muss jedoch unterscheiden, ob diese Zahl mit Punktrechnung (dann Faktorregel) oder Strichrechnung (dann Konstantenregel) gebunden ist. Am besten merkt man sich etwas genauer:
    Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.
    Ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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